Proste równoległe i prostopadłe

Matura podstawowa z matematyki · Geometria analityczna · tier S · 67 zadań z arkuszy CKE

O tym, czy proste są równoległe, czy prostopadłe, decydują współczynniki kierunkowe.

Wzory w skrócie

Równoległe: $a_1 = a_2$
Prostopadłe: $a_1 \cdot a_2 = -1$, czyli $a_2 = -\dfrac{1}{a_1}$
Prosta przez punkt $P = (x_0, y_0)$ o współczynniku $a$: $y - y_0 = a(x - x_0)$

Jak rozpoznać zadanie

Najpierw ustal współczynnik szukanej prostej, potem wstaw punkt, żeby znaleźć $b$.

Przykład z rozwiązaniem

Prosta $k$ jest równoległa do prostej $y = \frac{1}{3}x + 2$ i przechodzi przez punkt $P = (6,\ -6)$. Prosta $k$ ma równanie

A $y = -3x + 12$
B $y = \frac{1}{3}x - 4$
C $y = \frac{1}{3}x - 8$
D $y = \frac{1}{3}x + 2$

Rozwiązanie

1.
Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe: $a_2 = a_1 = \frac{1}{3}$.
2.
Podstawiamy punkt $P$: $-6 = \frac{1}{3}\cdot 6 + b$, stąd $b = -8$.
3.
Równanie prostej $k$: $y = \frac{1}{3}x - 8$.

Odpowiedź: C. $y = \frac{1}{3}x - 8$

W aplikacji dostajesz takie zadania z innymi liczbami i wpisujesz wynik każdego kroku.

Typowe błędy

Te pomyłki prowadzą do błędnych odpowiedzi w zadaniach zamkniętych z tego tematu:

Pomylono współrzędne: x₀ to pierwsza liczba w nawiasie, a y₀ druga.
Błąd znaku: z y₀ = a·x₀ + b wynika b = y₀ − a·x₀.
Odjęto w złej kolejności: b = y₀ − a·x₀, a nie a·x₀ − y₀.
To prosta prostopadła (współczynnik −1/a); równoległa ma ten sam współczynnik.

Na maturze

10 z 10arkuszy z tym tematem

16zadań w arkuszach formuły 2023

2,1pkt średnio na arkusz

Stier · 4,4% punktów

Policzone z 10 arkuszy CKE formuły 2023 z lat 2022–2026 (tej formuły dotyczy matura 2027). Razem 21 pkt z tego tematu. Jak liczymy tier listę.

Co trzeba umieć wcześniej

Funkcja liniowa
- Równania liniowe

Mapa wszystkich tematów

Ten temat jest potrzebny do

Na tym temacie nie stoją inne tematy matury podstawowej.

Ćwicz „Proste równoległe i prostopadłe” w aplikacji

Lekcja z teorią, zadania krok po kroku z podpowiedziami i powtórka, zanim temat wyleci z głowy.

Otwórz lekcję Zadania z działu „Geometria analityczna”

Zadania z arkuszy CKE z tego tematu

67 zadań z oficjalnych matur, każde z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Formuła 2023 · 16 zadań

Formuła 2015 · 29 zadań

Stara formuła · 22 zadania

Zadanie 13, matura czerwiec 2020, stara formułaProste o równaniach y = (m - 2)x oraz y = 3/4x + 7 są równoległe. Wtedy1 pkt Zadanie 18, matura czerwiec 2020, stara formułaProsta przechodząca przez punkty A = (3, -2) i B = (-1, 6) jest określona równaniem1 pkt Zadanie 32, matura czerwiec 2020, stara formułaDany jest kwadrat ABCD, w którym A = (5, -5/3 ). Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu …4 pkt Zadanie 17, matura maj 2019, stara formułaProste o równaniach y = (2m+2)x - 2019 oraz y = (3m-3)x + 2019 są równoległe, gdy1 pkt Zadanie 18, matura maj 2019, stara formułaProsta o równaniu y = ax + b jest prostopadła do prostej o równaniu y = -4x + 1 i przechodzi przez punkt P = (…1 pkt Zadanie 33, matura maj 2019, stara formułaDany jest punkt A = (-18, 10). Prosta o równaniu y = 3x jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu…4 pkt Zadanie 19, matura maj 2018, stara formułaProste o równaniach y = (m+2)x + 3 oraz y = (2m-1)x - 3 są równoległe, gdy1 pkt Zadanie 32, matura maj 2018, stara formułaW układzie współrzędnych punkty A = (4, 3) i B = (10, 5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na …5 pkt Zadanie 19, matura maj 2017, stara formułaNa płaszczyźnie z układem współrzędnych proste k i l przecinają się pod kątem prostym w punkcie A = (-2, 4). P…1 pkt Zadanie 32, matura maj 2017, stara formułaDane są punkty A = (-4, 0) i M = (2, 9) oraz prosta k o równaniu y = -2x + 10. Wierzchołek B trójkąta ABC to p…5 pkt Zadanie 20, matura maj 2016, stara formułaProste opisane równaniami y = 2/m - 1x + m - 2 oraz y = mx + 1/m + 1 są prostopadłe, gdy1 pkt Zadanie 17, matura maj 2015, stara formułaProste o równaniach: y = 2mx - m2 - 1 oraz y = 4m2x + m2 + 1 są prostopadłe dla1 pkt Zadanie 18, matura maj 2015, stara formułaDane są punkty M = (3, -5) oraz N = (-1, 7). Prosta przechodząca przez te punkty ma równanie1 pkt Zadanie 18, matura sierpień 2014, stara formułaZadanie 18. (1 pkt) Odcinki BC i DE są równoległe i 4 AE  , 3 DE  (zobacz rysunek). Punkt D jest środkiem od…1 pkt Zadanie 19, matura sierpień 2014, stara formułaZadanie 19. (1 pkt) Dane są równania czterech prostych: Prostopadłe są proste A. l i n B. l i m C. k i n D. k …1 pkt Zadanie 8, matura maj 2014, stara formułaPunkt C = (0, 2) jest wierzchołkiem trapezu ABCD, którego podstawa AB jest zawarta w prostej o równaniu y = 2x…1 pkt Zadanie 8, matura maj 2013, stara formułaProsta o równaniu y = 2/mx + 1 jest prostopadła do prostej o równaniu y = -3/2x - 1. Stąd wynika, że1 pkt Zadanie 19, matura sierpień 2012, stara formułaWskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej o równaniu …1 pkt Zadanie 32, matura czerwiec 2012, stara formułaPunkty A = (2, 11), B = (8, 23), C = (6, 14) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierz…4 pkt Zadanie 18, matura maj 2011, stara formułaProsta k ma równanie y = 2x - 3. Wskaż równanie prostej l równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt…1 pkt Zadanie 31, matura maj 2011, stara formułaOkrąg o środku w punkcie S = (3, 7) jest styczny do prostej o równaniu y = 2x - 3. Oblicz współrzędne punktu s…4 pkt Zadanie 20, matura maj 2010, stara formułaWspółczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu y = -3x + 5 jest równy:1 pkt

← Punkty i odcinki w układzie współrzędnych Równanie okręgu →