Zadanie 32: matura z matematyki maj 2017, stara formuła
Poziom podstawowy · termin główny · 5 pkt · zadanie otwarte · Geometria analityczna · Proste równoległe i prostopadłe
Teoria: Proste równoległe i prostopadłe
Dane są punkty $A = (-4, 0)$ i $M = (2, 9)$ oraz prosta $k$ o równaniu $y = -2x + 10$. Wierzchołek $B$ trójkąta $ABC$ to punkt przecięcia prostej $k$ z osią $Ox$ układu współrzędnych, a wierzchołek $C$ jest punktem przecięcia prostej $k$ z prostą $AM$. Oblicz pole trójkąta $ABC$.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Schemat: Proste w zadaniu otwartym (wierzchołek figury, symetralna, wysokość) · pojawił się w 13 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 24, matura maj 2024, zadanie 34, matura maj 2023, formuła 2015, zadanie 32, matura czerwiec 2020, formuła 2015
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Punkt $B$: podstawiamy $y = 0$ do równania prostej $k$: $0 = -2x + 10$, więc $x = 5$ i $B = (5, 0)$.
- 2.Prosta $AM$: współczynnik kierunkowy $\dfrac{9 - 0}{2 - (-4)} = \dfrac{3}{2}$, więc $y = \dfrac{3}{2}(x + 4) = \dfrac{3}{2}x + 6$.
- 3.Punkt $C$: rozwiązujemy $\dfrac{3}{2}x + 6 = -2x + 10$, czyli $\dfrac{7}{2}x = 4$, $x = \dfrac{8}{7}$, a $y = -\dfrac{16}{7} + 10 = \dfrac{54}{7}$. Zatem $C = \left(\dfrac{8}{7}, \dfrac{54}{7}\right)$.
- 4.Bok $AB$ leży na osi $Ox$ i ma długość $5 - (-4) = 9$; wysokość opuszczona z $C$ to jego rzędna $\dfrac{54}{7}$.
- 5.$P_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot \dfrac{54}{7} = \dfrac{243}{7}$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
W aplikacji każde zadanie z tematu „Proste równoległe i prostopadłe” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE s-1705-arkusz.pdf (strona 22), zasady oceniania: s-1705-zasady.pdf.