Zadanie 34: matura z matematyki maj 2023, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Geometria analityczna · Proste równoległe i prostopadłe

W kwadracie $ABCD$ punkty $A = (-8, -2)$ oraz $C = (0, 4)$ są końcami przekątnej. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną $BD$ tego kwadratu.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $y = -\dfrac{4}{3}x - \dfrac{13}{3}$

Schemat: Proste w zadaniu otwartym (wierzchołek figury, symetralna, wysokość) · pojawił się w 13 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 24, matura maj 2024, zadanie 32, matura czerwiec 2020, formuła 2015, zadanie 32, matura czerwiec 2020, stara formuła

Na maturze zdający zdobyli średnio 17% punktów za to zadanie (bardzo trudne). Średni wynik całego arkusza: 51%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Przekątne kwadratu dzielą się na połowy, więc prosta $BD$ przechodzi przez środek $S$ odcinka $AC$: $S = \left(\dfrac{-8 + 0}{2}, \dfrac{-2 + 4}{2}\right) = (-4, 1)$.
2.
Współczynnik kierunkowy prostej $AC$: $a_{AC} = \dfrac{4 - (-2)}{0 - (-8)} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$.
3.
Przekątne kwadratu są prostopadłe, więc $a_{BD} = -\dfrac{1}{a_{AC}} = -\dfrac{4}{3}$.
4.
Podstawiamy $S$ do $y = -\dfrac{4}{3}x + b$: $1 = -\dfrac{4}{3} \cdot (-4) + b$, czyli $b = 1 - \dfrac{16}{3} = -\dfrac{13}{3}$.
5.
Prosta $BD$: $y = -\dfrac{4}{3}x - \dfrac{13}{3}$.

Odpowiedź: $y = -\dfrac{4}{3}x - \dfrac{13}{3}$

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Proste równoległe i prostopadłe” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Źródło treści: arkusz CKE f15-2305-arkusz.pdf (strona 24), zasady oceniania: f15-2305-zasady.pdf.