Zadanie 32: matura z matematyki czerwiec 2020, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 4 pkt · zadanie otwarte · Geometria analityczna · Proste równoległe i prostopadłe

Dany jest kwadrat $ABCD$, w którym $A = \left(5, -\dfrac{5}{3}\right)$. Przekątna $BD$ tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu $y = \dfrac{4}{3}x$. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych $AC$ i $BD$ oraz pole kwadratu $ABCD$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Zadanie 32 z arkusza CKE, czerwiec 2020 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Przekątne przecinają się w punkcie $S = \left(1, \dfrac{4}{3}\right)$, a pole kwadratu jest równe $50$.

Schemat: Proste w zadaniu otwartym (wierzchołek figury, symetralna, wysokość) · pojawił się w 13 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 24, matura maj 2024, zadanie 34, matura maj 2023, formuła 2015, zadanie 32, matura czerwiec 2020, formuła 2015

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Przekątne kwadratu są prostopadłe, więc prosta $AC$ ma współczynnik kierunkowy $-\dfrac{3}{4}$ (bo $\dfrac{4}{3} \cdot \left(-\dfrac{3}{4}\right) = -1$).
2.
Prosta $AC$ przechodzi przez $A$: $y + \dfrac{5}{3} = -\dfrac{3}{4}(x - 5)$, czyli $y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{25}{12}$.
3.
Punkt przecięcia przekątnych wyznaczamy z układu: $\dfrac{4}{3}x = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{25}{12}$. Mnożymy przez $12$: $16x = -9x + 25$, więc $x = 1$ i $y = \dfrac{4}{3}$.
4.
Odległość $A$ od środka: $|AS| = \sqrt{(5 - 1)^2 + \left(-\dfrac{5}{3} - \dfrac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$, więc przekątna ma długość $|AC| = 10$.
5.
Pole kwadratu o przekątnej $d$ to $\dfrac{d^2}{2} = \dfrac{100}{2} = 50$.
6.
$S = \left(1, \dfrac{4}{3}\right)$, pole kwadratu $ABCD$ jest równe $50$.

Odpowiedź: Przekątne przecinają się w punkcie $S = \left(1, \dfrac{4}{3}\right)$, a pole kwadratu jest równe $50$.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 32

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Proste równoległe i prostopadłe” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Proste równoległe i prostopadłe

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 26, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dana jest prosta k o równaniu y = -1/3x + 2. Prosta l jest równo…1 pkt Zadanie 23, matura marzec 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są określone równaniami k (m - 1)x + 3y + 5 = 0 …1 pkt Zadanie 23, matura maj 2025W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są określone równaniami k \ y = (m - 2)x + 5 ora…1 pkt Zadanie 22, matura grudzień 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dana jest prosta k o równaniu y = -7x + 3. Prosta l jest równole…1 pkt Zadanie 23, matura maj 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są określone równaniami k y = (m + 1)x + 7 oraz …1 pkt Zadanie 24, matura maj 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest równoległobok ABCD, w którym A = (-2, 6) oraz B = (10,…2 pkt

← Zadanie 31 Zadanie 33 →

Źródło treści: arkusz CKE s-2005-arkusz.pdf (strona 20), zasady oceniania: s-2005-zasady.pdf.