Zadanie 31: matura z matematyki maj 2024

Poziom podstawowy · termin główny · 4 pkt · zadanie otwarte · Geometria analityczna · Proste równoległe i prostopadłe

Zapisz obliczenia.

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku: trzy prostokąty o bokach $x$ i $y$ ustawione obok siebie wzdłuż boku $y$). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć $36$ metrów bieżących siatki. Oblicz wymiary $x$ oraz $y$ jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 31 z arkusza CKE, maj 2024 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $x = 4{,}5\ \text{m}$, $y = 3\ \text{m}$

Schemat: Optymalizacja i modele z funkcją kwadratową (zadanie z treścią) · pojawił się w 9 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 33.1, matura maj 2026, zadanie 33.2, matura maj 2026, zadanie 31, matura maj 2025

Na maturze zdający zdobyli średnio 35% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 63%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Ogrodzenie składa się z $4$ odcinków długości $x$ (dwa zewnętrzne i dwa wewnętrzne) oraz $6$ odcinków długości $y$, więc $4x + 6y = 36$.
2.
Wyznaczamy $y = 6 - \dfrac{2}{3}x$; warunki $x > 0$ i $y > 0$ dają $x \in (0, 9)$.
3.
Suma pól to pole prostokąta $x \times 3y$: $P(x) = 3x\left(6 - \dfrac{2}{3}x\right) = -2x^2 + 18x$.
4.
To parabola o ramionach w dół, więc największą wartość ma w wierzchołku: $x_w = \dfrac{-18}{2 \cdot (-2)} = 4{,}5 \in (0, 9)$.
5.
Drugi wymiar: $y = 6 - \dfrac{2}{3} \cdot 4{,}5 = 3$.
6.
Suma pól jest największa dla $x = 4{,}5$ m i $y = 3$ m.

Odpowiedź: $x = 4{,}5\ \text{m}$, $y = 3\ \text{m}$

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE