Zadanie 32: matura z matematyki maj 2017, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 5 pkt · zadanie otwarte · Geometria analityczna · Proste równoległe i prostopadłe

Dane są punkty $A = (-4, 0)$ i $M = (2, 9)$ oraz prosta $k$ o równaniu $y = -2x + 10$. Wierzchołek $B$ trójkąta $ABC$ to punkt przecięcia prostej $k$ z osią $Ox$ układu współrzędnych, a wierzchołek $C$ jest punktem przecięcia prostej $k$ z prostą $AM$. Oblicz pole trójkąta $ABC$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Zadanie 32 z arkusza CKE, maj 2017 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Pole trójkąta $ABC$ jest równe $\dfrac{243}{7} = 34\dfrac{5}{7}$.

Schemat: Proste w zadaniu otwartym (wierzchołek figury, symetralna, wysokość) · pojawił się w 13 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 24, matura maj 2024, zadanie 34, matura maj 2023, formuła 2015, zadanie 32, matura czerwiec 2020, formuła 2015

Na maturze zdający zdobyli średnio 31% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 54%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Prosta $AM$: współczynnik kierunkowy $\dfrac{9 - 0}{2 - (-4)} = \dfrac{3}{2}$, więc $y = \dfrac{3}{2}(x + 4) = \dfrac{3}{2}x + 6$.
2.
Punkt $B$: $-2x + 10 = 0$, więc $B = (5, 0)$ i $|AB| = 5 - (-4) = 9$.
3.
Punkt $C$: $\dfrac{3}{2}x + 6 = -2x + 10$, czyli $\dfrac{7}{2}x = 4$, $x = \dfrac{8}{7}$ i $y = -2 \cdot \dfrac{8}{7} + 10 = \dfrac{54}{7}$. Zatem $C = \left(\dfrac{8}{7}, \dfrac{54}{7}\right)$.
4.
Bok $AB$ leży na osi $Ox$, więc wysokość opuszczona z $C$ jest równa $y_C = \dfrac{54}{7}$.
5.
$P_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot \dfrac{54}{7} = \dfrac{243}{7} = 34\dfrac{5}{7}$.

Odpowiedź: Pole trójkąta $ABC$ jest równe $\dfrac{243}{7} = 34\dfrac{5}{7}$.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 32

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Proste równoległe i prostopadłe” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Proste równoległe i prostopadłe

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 26, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dana jest prosta k o równaniu y = -1/3x + 2. Prosta l jest równo…1 pkt Zadanie 23, matura marzec 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są określone równaniami k (m - 1)x + 3y + 5 = 0 …1 pkt Zadanie 23, matura maj 2025W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są określone równaniami k \ y = (m - 2)x + 5 ora…1 pkt Zadanie 22, matura grudzień 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dana jest prosta k o równaniu y = -7x + 3. Prosta l jest równole…1 pkt Zadanie 23, matura maj 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są określone równaniami k y = (m + 1)x + 7 oraz …1 pkt Zadanie 24, matura maj 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest równoległobok ABCD, w którym A = (-2, 6) oraz B = (10,…2 pkt

← Zadanie 31 Zadanie 33 →

Źródło treści: arkusz CKE f15-1705-arkusz.pdf (strona 22), zasady oceniania: f15-1705-zasady.pdf.