Zadanie 33: matura z matematyki marzec 2020, formuła 2015

Poziom podstawowy · matura próbna · 4 pkt · zadanie otwarte · Geometria analityczna · Proste równoległe i prostopadłe

Punkt $C = (0, 0)$ jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego $ABC$, którego wierzchołek $A$ leży na osi $Ox$, a wierzchołek $B$ na osi $Oy$ układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka $C$ przecina przeciwprostokątną $AB$ w punkcie $D = (3, 4)$. Oblicz współrzędne wierzchołków $A$ i $B$ tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej $AB$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 33 z arkusza CKE, marzec 2020 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $A = \left(\dfrac{25}{3}, 0\right)$, $B = \left(0, \dfrac{25}{4}\right)$, $|AB| = \dfrac{125}{12}$

Schemat: Proste w zadaniu otwartym (wierzchołek figury, symetralna, wysokość) · pojawił się w 13 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 24, matura maj 2024, zadanie 34, matura maj 2023, formuła 2015, zadanie 32, matura czerwiec 2020, formuła 2015

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Wysokość $CD$ leży na prostej przez $(0, 0)$ i $(3, 4)$, więc ma współczynnik kierunkowy $\dfrac{4}{3}$.
2.
Przeciwprostokątna $AB$ jest prostopadła do $CD$ i przechodzi przez $D$, więc ma współczynnik $-\dfrac{3}{4}$: $y - 4 = -\dfrac{3}{4}(x - 3)$, czyli $y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{25}{4}$.
3.
Punkt $B$ leży na osi $Oy$ ($x = 0$): $B = \left(0, \dfrac{25}{4}\right)$. Punkt $A$ leży na osi $Ox$ ($y = 0$): $\dfrac{3}{4}x = \dfrac{25}{4}$, więc $A = \left(\dfrac{25}{3}, 0\right)$.
4.
Długość przeciwprostokątnej: $|AB| = \sqrt{\left(\dfrac{25}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{25}{4}\right)^2} = 25\sqrt{\dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{16}} = 25 \cdot \dfrac{5}{12} = \dfrac{125}{12}$.
5.
$A = \left(\dfrac{25}{3}, 0\right)$, $B = \left(0, \dfrac{25}{4}\right)$, $|AB| = \dfrac{125}{12}$.

Odpowiedź: $A = \left(\dfrac{25}{3}, 0\right)$, $B = \left(0, \dfrac{25}{4}\right)$, $|AB| = \dfrac{125}{12}$

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 33

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Proste równoległe i prostopadłe” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Proste równoległe i prostopadłe

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 26, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dana jest prosta k o równaniu y = -1/3x + 2. Prosta l jest równo…1 pkt Zadanie 23, matura marzec 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są określone równaniami k (m - 1)x + 3y + 5 = 0 …1 pkt Zadanie 23, matura maj 2025W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są określone równaniami k \ y = (m - 2)x + 5 ora…1 pkt Zadanie 22, matura grudzień 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dana jest prosta k o równaniu y = -7x + 3. Prosta l jest równole…1 pkt Zadanie 23, matura maj 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są określone równaniami k y = (m + 1)x + 7 oraz …1 pkt Zadanie 24, matura maj 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest równoległobok ABCD, w którym A = (-2, 6) oraz B = (10,…2 pkt

← Zadanie 32 Zadanie 34 →

Źródło treści: arkusz CKE f15-2003-arkusz.pdf (strona 22), zasady oceniania: f15-2003-zasady.pdf.