Zadanie 34: matura z matematyki marzec 2020, formuła 2015
Poziom podstawowy · matura próbna · 5 pkt · zadanie otwarte · Stereometria · Objętości i pola brył
Podstawą graniastosłupa prostego $ABCDEF$ jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\angle ACB| = 90^\circ$ (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej $AC$ tego trójkąta do długości przyprostokątnej $BC$ jest równy $4 : 3$. Punkt $S$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$, a długość odcinka $SC$ jest równa $5$. Pole ściany bocznej $BEFC$ graniastosłupa jest równe $48$. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:
Pokaż odpowiedź
Schemat: Graniastosłup: objętość i pole powierzchni · pojawił się w 12 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 25, matura grudzień 2024, zadanie 36, matura maj 2023, formuła 2015, zadanie 25, matura maj 2022, formuła 2015
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej, a $|SC|$ to promień. Zatem $|AB| = 2 \cdot 5 = 10$.
- 2.Przyjmujemy $|AC| = 4k$, $|BC| = 3k$. Z twierdzenia Pitagorasa: $16k^2 + 9k^2 = 100$, więc $k^2 = 4$ i $k = 2$. Stąd $|AC| = 8$, $|BC| = 6$.
- 3.Ściana $BEFC$ jest prostokątem o bokach $|BC| = 6$ i $H$ (wysokość graniastosłupa): $6H = 48$, więc $H = 8$.
- 4.Pole podstawy: $P_p = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$.
- 5.Objętość: $V = P_p \cdot H = 24 \cdot 8 = 192$.
- 6.Objętość graniastosłupa jest równa $192$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
W aplikacji każde zadanie z tematu „Objętości i pola brył” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE f15-2003-arkusz.pdf (strona 24), zasady oceniania: f15-2003-zasady.pdf.