Zadanie 36: matura z matematyki maj 2023, formuła 2015
Poziom podstawowy · termin główny · 5 pkt · zadanie otwarte · Stereometria · Objętości i pola brył
Podstawą graniastosłupa prostego $ABCDEF$ jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$, $|AB| = 8$. Wysokość trójkąta $ABC$, poprowadzona z wierzchołka $C$, ma długość $3$. Przekątna $CE$ ściany bocznej tworzy z krawędzią $CB$ podstawy $ABC$ kąt $60^\circ$ (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego graniastosłupa.
Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:
Pokaż odpowiedź
Schemat: Graniastosłup: objętość i pole powierzchni · pojawił się w 12 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 25, matura grudzień 2024, zadanie 25, matura maj 2022, formuła 2015, zadanie 34, matura marzec 2020, formuła 2015
Na maturze zdający zdobyli średnio 35% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 51%. Sprawozdanie CKE
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Pole podstawy: $P_p = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$.
- 2.Wysokość z $C$ dzieli podstawę $AB$ na połowy (trójkąt równoramienny), więc z twierdzenia Pitagorasa $|BC|^2 = 4^2 + 3^2 = 25$, czyli $|AC| = |BC| = 5$.
- 3.W prostokącie $BCFE$ trójkąt $CBE$ jest prostokątny (kąt prosty przy $B$), więc wysokość graniastosłupa $H = |BE| = |BC| \operatorname{tg} 60^\circ = 5\sqrt{3}$.
- 4.Pole powierzchni bocznej: $P_b = (5 + 5 + 8) \cdot 5\sqrt{3} = 90\sqrt{3}$; pole całkowite $P_c = 2 \cdot 12 + 90\sqrt{3} = 24 + 90\sqrt{3}$.
- 5.Objętość: $V = P_p \cdot H = 12 \cdot 5\sqrt{3} = 60\sqrt{3}$.
- 6.$P_c = 24 + 90\sqrt{3}$, $V = 60\sqrt{3}$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
W aplikacji każde zadanie z tematu „Objętości i pola brył” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE f15-2305-arkusz.pdf (strona 26), zasady oceniania: f15-2305-zasady.pdf.