Zadanie 32: matura z matematyki maj 2018, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 5 pkt · zadanie otwarte · Geometria analityczna · Proste równoległe i prostopadłe

W układzie współrzędnych punkty $A = (4, 3)$ i $B = (10, 5)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$. Wierzchołek $C$ leży na prostej o równaniu $y = 2x + 3$. Oblicz współrzędne punktu $C$, dla którego kąt $ABC$ jest prosty.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Zadanie 32 z arkusza CKE, maj 2018 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $C = \left(\dfrac{32}{5}, \dfrac{79}{5}\right)$

Schemat: Proste w zadaniu otwartym (wierzchołek figury, symetralna, wysokość) · pojawił się w 13 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 24, matura maj 2024, zadanie 34, matura maj 2023, formuła 2015, zadanie 32, matura czerwiec 2020, formuła 2015

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Współczynnik kierunkowy prostej $AB$: $a_{AB} = \dfrac{5 - 3}{10 - 4} = \dfrac{1}{3}$.
2.
Kąt przy $B$ jest prosty, więc prosta $BC$ jest prostopadła do $AB$: $a_{BC} = -3$. Przechodzi przez $B$: $5 = -3 \cdot 10 + b$, $b = 35$, czyli $BC$: $y = -3x + 35$.
3.
Punkt $C$ leży też na prostej $y = 2x + 3$, więc rozwiązujemy $2x + 3 = -3x + 35$: $5x = 32$, $x = \dfrac{32}{5}$.
4.
Druga współrzędna: $y = 2 \cdot \dfrac{32}{5} + 3 = \dfrac{64}{5} + \dfrac{15}{5} = \dfrac{79}{5}$.
5.
$C = \left(\dfrac{32}{5}, \dfrac{79}{5}\right)$.

Odpowiedź: $C = \left(\dfrac{32}{5}, \dfrac{79}{5}\right)$

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 32

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Proste równoległe i prostopadłe” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Proste równoległe i prostopadłe

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 26, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dana jest prosta k o równaniu y = -1/3x + 2. Prosta l jest równo…1 pkt Zadanie 23, matura marzec 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są określone równaniami k (m - 1)x + 3y + 5 = 0 …1 pkt Zadanie 23, matura maj 2025W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są określone równaniami k \ y = (m - 2)x + 5 ora…1 pkt Zadanie 22, matura grudzień 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dana jest prosta k o równaniu y = -7x + 3. Prosta l jest równole…1 pkt Zadanie 23, matura maj 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) proste k oraz l są określone równaniami k y = (m + 1)x + 7 oraz …1 pkt Zadanie 24, matura maj 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest równoległobok ABCD, w którym A = (-2, 6) oraz B = (10,…2 pkt

← Zadanie 31 Zadanie 33 →

Źródło treści: arkusz CKE s-1805-arkusz.pdf (strona 20), zasady oceniania: s-1805-zasady.pdf.