Zadanie 33: matura z matematyki maj 2019, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 4 pkt · zadanie otwarte · Geometria analityczna · Proste równoległe i prostopadłe

Zapisz obliczenia.

Dany jest punkt $A = (-18, 10)$. Prosta o równaniu $y = 3x$ jest symetralną odcinka $AB$. Wyznacz współrzędne punktu $B$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $B = \left(\dfrac{102}{5}, -\dfrac{14}{5}\right)$

Schemat: Proste w zadaniu otwartym (wierzchołek figury, symetralna, wysokość) · pojawił się w 13 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 24, matura maj 2024, zadanie 34, matura maj 2023, formuła 2015, zadanie 32, matura czerwiec 2020, formuła 2015

Na maturze zdający zdobyli średnio 24% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 58%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Odcinek $AB$ jest prostopadły do symetralnej $y = 3x$, więc prosta $AB$ ma współczynnik kierunkowy $-\dfrac{1}{3}$.
2.
Prosta $AB$ przechodzi przez $A$: $10 = -\dfrac{1}{3} \cdot (-18) + b$, więc $b = 4$ i $AB\colon y = -\dfrac{1}{3}x + 4$.
3.
Środek $S$ odcinka $AB$ to punkt przecięcia z symetralną: $3x = -\dfrac{1}{3}x + 4$, czyli $\dfrac{10}{3}x = 4$, $x = \dfrac{6}{5}$, $y = \dfrac{18}{5}$.
4.
Ze wzoru na środek odcinka: $\dfrac{-18 + x_B}{2} = \dfrac{6}{5}$ oraz $\dfrac{10 + y_B}{2} = \dfrac{18}{5}$, więc $x_B = \dfrac{12}{5} + 18 = \dfrac{102}{5}$, $y_B = \dfrac{36}{5} - 10 = -\dfrac{14}{5}$.
5.
$B = \left(\dfrac{102}{5}, -\dfrac{14}{5}\right)$.

Odpowiedź: $B = \left(\dfrac{102}{5}, -\dfrac{14}{5}\right)$

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Proste równoległe i prostopadłe” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Źródło treści: arkusz CKE f15-1905-arkusz.pdf (strona 22), zasady oceniania: f15-1905-zasady.pdf.