Zadanie 33: matura z matematyki maj 2021, formuła 2015
Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Czworokąty, podobieństwo, Tales
Teoria: Czworokąty, podobieństwo, Tales
Trójkąt równoboczny $ABC$ ma pole równe $9\sqrt{3}$. Prosta równoległa do boku $BC$ przecina boki $AB$ i $AC$ – odpowiednio – w punktach $K$ i $L$. Trójkąty $ABC$ i $AKL$ są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy $\dfrac{3}{2}$. Oblicz długość boku trójkąta $AKL$.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Schemat: Trójkąty podobne (skala, boki, stosunek pól i obwodów) · pojawił się w 16 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 20, matura maj 2025, zadanie 22, matura maj 2023, zadanie 22, matura grudzień 2022
Na maturze zdający zdobyli średnio 53% punktów za to zadanie (umiarkowanie trudne). Średni wynik całego arkusza: 56%. Sprawozdanie CKE
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Oznaczamy bok trójkąta $ABC$ przez $a$. Pole trójkąta równobocznego: $\dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$.
- 2.Stąd $a^{2} = 36$, czyli $a = 6$.
- 3.Trójkąt $AKL$ jest mniejszy (punkty $K$, $L$ leżą na bokach $AB$, $AC$), więc $\dfrac{|AB|}{|AK|} = \dfrac{3}{2}$.
- 4.Zatem $|AK| = \dfrac{2}{3} \cdot 6 = 4$, a trójkąt $AKL$ jest równoboczny, więc każdy jego bok ma długość $4$.
- 5.Odpowiedź: $4$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
W aplikacji każde zadanie z tematu „Czworokąty, podobieństwo, Tales” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE f15-2105-arkusz.pdf (strona 20), zasady oceniania: f15-2105-zasady.pdf.