Zadanie 15: matura z matematyki maj 2019, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 1 pkt · zadanie zamknięte · Planimetria · Czworokąty, podobieństwo, Tales

Wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź.

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $5$ oraz okrąg o środku w punkcie $P$ i promieniu $3$. Odcinek $OP$ ma długość $16$. Prosta $AB$ jest styczna do tych okręgów w punktach $A$ i $B$. Ponadto prosta $AB$ przecina odcinek $OP$ w punkcie $K$ (zobacz rysunek). Wtedy

A $|OK| = 6$
B $|OK| = 8$
C $|OK| = 10$
D $|OK| = 12$

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 15 z arkusza CKE, maj 2019 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $|OK| = 10$

Schemat: Trójkąty podobne (skala, boki, stosunek pól i obwodów) · pojawił się w 16 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 20, matura maj 2025, zadanie 22, matura maj 2023, zadanie 22, matura grudzień 2022

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Promień jest prostopadły do stycznej w punkcie styczności, więc kąty $OAK$ i $PBK$ są proste.
2.
Kąty $OKA$ i $PKB$ są wierzchołkowe, więc trójkąty $OAK$ i $PBK$ są podobne (cecha kąt–kąt).
3.
Stąd $\dfrac{|OK|}{|KP|} = \dfrac{5}{3}$, a $|OK| + |KP| = 16$.
4.
Niech $|OK| = 5t$, $|KP| = 3t$; wtedy $8t = 16$, $t = 2$, więc $|OK| = 10$.
5.
Odpowiedź C.

Odpowiedź: $|OK| = 10$

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Czworokąty, podobieństwo, Tales” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Czworokąty, podobieństwo, Tales

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 27, matura marzec 2026Pole powierzchni całkowitej walca C1 jest równe 12 , a objętość tego walca jest równa 4 . Walec C2 jest podobn…1 pkt Zadanie 21, matura maj 2024Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120 . Pole tego równoległobo…1 pkt Zadanie 23, matura grudzień 2023W rombie ABCD dłuższa przekątna AC ma długość 12 i tworzy z bokiem AB kąt o mierze 30 (zobacz rysunek). Pole r…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2023W rombie o boku długości 6 2 kąt rozwarty ma miarę 150 . Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy1 pkt Zadanie 21, matura grudzień 2022Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 8. Z wierzchołka A zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwa…1 pkt Zadanie 22, matura grudzień 2022Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie O. Ponadto |AD| = 4 i |OD| = |BC| = 6. Kąty ODA i BCO są proste (zoba…1 pkt

← Zadanie 14 Zadanie 16 →

Źródło treści: arkusz CKE s-1905-arkusz.pdf (strona 8), zasady oceniania: s-1905-zasady.pdf.