Zadanie 29: matura z matematyki maj 2011, stara formuła
Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Czworokąty, podobieństwo, Tales
Teoria: Czworokąty, podobieństwo, Tales
Dany jest czworokąt $ABCD$, w którym $AB \parallel CD$. Na boku $BC$ wybrano taki punkt $E$, że $|EC| = |CD|$ i $|EB| = |BA|$. Wykaż, że kąt $AED$ jest prosty.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Schemat: Dowód geometryczny w czworokącie · pojawił się w 5 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 29, matura maj 2016, formuła 2015, zadanie 29, matura maj 2016, stara formuła, zadanie 28, matura maj 2015, formuła 2015
Na maturze zdający zdobyli średnio 7% punktów za to zadanie (bardzo trudne). Średni wynik całego arkusza: 48.24%. Sprawozdanie CKE
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Oznaczmy $|\angle CED| = \alpha$ i $|\angle AEB| = \beta$. Trójkąt $DCE$ jest równoramienny ($|EC| = |CD|$), więc $|\angle EDC| = \alpha$ i $|\angle DCE| = 180^\circ - 2\alpha$.
- 2.Trójkąt $ABE$ jest równoramienny ($|EB| = |BA|$), więc $|\angle EAB| = \beta$ i $|\angle ABE| = 180^\circ - 2\beta$.
- 3.Ponieważ $AB \parallel CD$, kąty $ABC$ i $DCB$ przy ramieniu $BC$ sumują się do $180^\circ$: $180^\circ - 2\alpha + 180^\circ - 2\beta = 180^\circ$, czyli $\alpha + \beta = 90^\circ$.
- 4.Punkt $E$ leży na odcinku $BC$, więc $|\angle AED| = 180^\circ - \alpha - \beta$.
- 5.Zatem $|\angle AED| = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, czyli kąt $AED$ jest prosty.
W aplikacji każde zadanie z tematu „Czworokąty, podobieństwo, Tales” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE s-1105-arkusz.pdf (strona 13), zasady oceniania: s-1105-zasady.pdf.