Zadanie 32: matura z matematyki maj 2019, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 4 pkt · zadanie otwarte · Ciągi · Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Różnicą tego ciągu jest liczba $r = -4$, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$, jest równa $16$. a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. b) Oblicz liczbę $k$, dla której $a_k = -78$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Zadanie 32 z arkusza CKE, maj 2019 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $a_1 = 26$, $k = 27$

Schemat: Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego · pojawił się w 17 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 15, matura marzec 2026, zadanie 17, matura maj 2024, zadanie 16.3, matura wrzesień 2022

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Średnia sześciu wyrazów to $16$, więc ich suma $S_6 = 6 \cdot 16 = 96$.
2.
Ze wzoru na sumę: $S_6 = \dfrac{2a_1 + 5r}{2} \cdot 6 = 3(2a_1 - 20) = 6a_1 - 60$.
3.
a) $6a_1 - 60 = 96$, więc $6a_1 = 156$ i $a_1 = 26$.
4.
b) Wyraz ogólny: $a_k = 26 + (k - 1)(-4) = 30 - 4k$. Z równania $30 - 4k = -78$ dostajemy $4k = 108$, $k = 27$.
5.
$a_1 = 26$, $k = 27$.

Odpowiedź: $a_1 = 26$, $k = 27$

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Ciąg arytmetyczny” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Ciąg arytmetyczny

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 16, matura maj 2026Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n 1. W tym ciągu a1 = 1 oraz a5 = 17. Dziew…1 pkt Zadanie 14, matura marzec 2026Ciąg (an) jest określony wzorem an = 3n + 9/n + 1 dla każdej liczby naturalnej n 1. Wyznacz wszystkie wartości…3 pkt Zadanie 15, matura marzec 2026Ciąg (an) jest określony następująco: cases a1 = 5 \\ an+1 = an + 2 cases dla każdej liczby naturalnej n 1. Su…1 pkt Zadanie 14.1, matura maj 2025Ciąg (an) jest określony następująco: cases a1 = 2 \\ an+1 = 2an + 1 cases dla każdej liczby naturalnej n 1. T…1 pkt Zadanie 15, matura maj 2025Wyznacz wartość m, dla której trzywyrazowy ciąg (2m + 11,\ m2 + 3,\ 5 - m) jest arytmetyczny i malejący.3 pkt Zadanie 15, matura grudzień 2024Trzywyrazowy ciąg (5m, 4 + 2m, m) jest arytmetyczny, gdy liczba m jest równa1 pkt

← Zadanie 31 Zadanie 33 →

Źródło treści: arkusz CKE s-1905-arkusz.pdf (strona 20), zasady oceniania: s-1905-zasady.pdf.