Ciąg arytmetyczny
Matura podstawowa z matematyki · Ciągi · tier S · 67 zadań z arkuszy CKE
W ciągu arytmetycznym każdy wyraz powstaje przez dodanie tej samej liczby $r$.
Wzory w skrócie
- $a_n = a_1 + (n - 1)r$
- $a_n - a_m = (n - m)r$, między wyrazami $m$-tym i $n$-tym jest $n - m$ różnic
- $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n$
- $a, b, c$ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego $\iff 2b = a + c$
Jak rozpoznać zadanie
Gdy znasz dwa dowolne wyrazy, najpierw policz $r$ z ich różnicy, potem $a_1$.
Przykład z rozwiązaniem
W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n \ge 1$, dane są $a_1 = 3$ oraz różnica $r = 4$. Wyraz $a_{10}$ jest równy
- A $43$
- B $40$
- C $39$
- D $35$
- 1.Wzór na wyraz ogólny: $a_n = a_1 + (n - 1)r$, tutaj $n = 10$.
- 2.$(10 - 1)\cdot 4 = 36$.
- 3.$a_{10} = a_1 + 9r = 3 + 9\cdot 4 = 39$.
Odpowiedź: C. $39$
W aplikacji dostajesz takie zadania z innymi liczbami i wpisujesz wynik każdego kroku.
Typowe błędy
Te pomyłki prowadzą do błędnych odpowiedzi w zadaniach zamkniętych z tego tematu:
- Wzór ogólny to a_n = a_1 + (n − 1)r, a nie a_1 + nr.
- Cofając się od wyrazu do a_1, odejmujemy różnicę, a nie ją dodajemy.
- Pominięto pierwszy wyraz a_1.
- Wyraz środkowy to średnia sąsiednich wyrazów: sumę trzeba podzielić przez 2.
Na maturze
10 z 10arkuszy z tym tematem
17zadań w arkuszach formuły 2023
2,3pkt średnio na arkusz
Stier · 4,8% punktów
Policzone z 10 arkuszy CKE formuły 2023 z lat 2022–2026 (tej formuły dotyczy matura 2027). Razem 23 pkt z tego tematu. Jak liczymy tier listę.
Co trzeba umieć wcześniej
Ten temat jest potrzebny do
Lekcja z teorią, zadania krok po kroku z podpowiedziami i powtórka, zanim temat wyleci z głowy.
Zadania z arkuszy CKE z tego tematu
67 zadań z oficjalnych matur, każde z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.
Formuła 2023 · 17 zadań
Zadanie 16, matura maj 2026Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n 1. W tym ciągu a1 = 1 oraz a5 = 17. Dziew…1 pktZadanie 14, matura marzec 2026Ciąg (an) jest określony wzorem an = 3n + 9/n + 1 dla każdej liczby naturalnej n 1. Wyznacz wszystkie wartości…3 pktZadanie 15, matura marzec 2026Ciąg (an) jest określony następująco: cases a1 = 5 \\ an+1 = an + 2 cases dla każdej liczby naturalnej n 1. Su…1 pktZadanie 14.1, matura maj 2025Ciąg (an) jest określony następująco: cases a1 = 2 \\ an+1 = 2an + 1 cases dla każdej liczby naturalnej n 1. T…1 pktZadanie 15, matura maj 2025Wyznacz wartość m, dla której trzywyrazowy ciąg (2m + 11,\ m2 + 3,\ 5 - m) jest arytmetyczny i malejący.3 pktZadanie 15, matura grudzień 2024Trzywyrazowy ciąg (5m, 4 + 2m, m) jest arytmetyczny, gdy liczba m jest równa1 pktZadanie 15, matura maj 2024Ciąg (an) jest określony wzorem an = (-1)n (n - 5) dla każdej liczby naturalnej n 1. 1. Pierwszy wyraz ciągu (…1 pktZadanie 17, matura maj 2024Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n 1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy (-1…2 pktZadanie 13, matura grudzień 2023Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n 1. W tym ciągu a2 = 4 oraz a3 = 9. Szósty…1 pktZadanie 15, matura maj 2023Ciąg (an) jest określony wzorem an = 2n (n + 1) dla każdej liczby naturalnej n 1. Wyraz a4 jest równy1 pktZadanie 17, matura maj 2023Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od po…2 pktZadanie 15, matura grudzień 2022Dany jest ciąg (an) określony wzorem an = 2n2 + n dla każdej liczby naturalnej n 1. 1. Ciąg (an) jest malejący…1 pktZadanie 16, matura grudzień 2022Pięciowyrazowy ciąg (-3, 1/2, x, y, 11 ) jest arytmetyczny. Liczby x oraz y są równe1 pktZadanie 16.1, matura wrzesień 2022Dany jest ciąg (an) określony wzorem an = 3n - 1 dla każdej liczby naturalnej n 1. Ciąg (an) jest A. rosnący, …1 pktZadanie 16.2, matura wrzesień 2022Dany jest ciąg (an) określony wzorem an = 3n - 1 dla każdej liczby naturalnej n 1. Najmniejszą wartością n, dl…1 pktZadanie 16.3, matura wrzesień 2022Dany jest ciąg (an) określony wzorem an = 3n - 1 dla każdej liczby naturalnej n 1. Suma n początkowych wyrazów…1 pktZadanie 15, matura marzec 2022Dany jest ciąg (an) określony wzorem an = -3n + 5 dla każdej liczby naturalnej n 1. 1. Liczby 2, (-1), (-4) są…1 pkt
Formuła 2015 · 26 zadań
Zadanie 16, matura maj 2024, formuła 2015W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla każdej liczby naturalnej n≥1, dane są wyrazy a4 = −2 oraz a6 = 16. …1 pktZadanie 18, matura maj 2024, formuła 2015Ciąg (bn) jest określony wzorem bn= (n+ 2)(7 −n), dla każdej liczby naturalnej n≥1. Liczba dodatnich wyrazów c…1 pktZadanie 33, matura maj 2024, formuła 2015Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy (−1…2 pktZadanie 15, matura maj 2023, formuła 2015Ciąg (an) jest określony wzorem an = 2n (n + 1) dla każdej liczby naturalnej n 1. Wyraz a4 jest równy1 pktZadanie 31, matura maj 2023, formuła 2015Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od po…2 pktZadanie 13, matura maj 2022, formuła 2015Ciąg (an) jest określony wzorem an = 2n2 - 30n/n dla każdej liczby naturalnej n 1. Wtedy a7 jest równy1 pktZadanie 14, matura maj 2022, formuła 2015W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla każdej liczby naturalnej n 1, a5 = -31 oraz a10 = -66. Różnica tego…1 pktZadanie 30, matura maj 2022, formuła 2015W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla każdej liczby naturalnej n 1, a1 = -1 i a4 = 8. Oblicz sumę stu poc…2 pktZadanie 15, matura maj 2021, formuła 2015Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n 1. Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają w…1 pktZadanie 12, matura marzec 2021, formuła 2015Ciąg (an), określony dla każdej liczby naturalnej n 1, jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa 5, a p…1 pktZadanie 14, matura marzec 2021, formuła 2015Ciągi (an), (bn) oraz (cn) są określone dla każdej liczby naturalnej n 1 następująco: an = 6n2 - n3, bn = 2n +…1 pktZadanie 15, matura marzec 2021, formuła 2015Ciąg (an) jest określony wzorem an = (-2)n n + 1 dla każdej liczby naturalnej n 1. Wtedy trzeci wyraz tego cią…1 pktZadanie 35, matura marzec 2021, formuła 2015Rosnący ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n 1. Suma pierwszych pięciu wyrazów…5 pktZadanie 14, matura czerwiec 2020, formuła 2015Ciąg (an) jest określony wzorem an = 2n2 dla n 1. Różnica a5 - a4 jest równa1 pktZadanie 15, matura czerwiec 2020, formuła 2015W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n 1, czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5.…1 pktZadanie 11, matura marzec 2020, formuła 2015Dany jest ciąg arytmetyczny (an), określony dla n 1, w którym są dane: a1 = 2 i a2 = 9. Wtedy an = 79 dla1 pktZadanie 31, matura marzec 2020, formuła 2015Dany jest ciąg arytmetyczny (an), określony dla n 1, w którym spełniona jest równość a21 + a24 + a27 + a30 = 1…2 pktZadanie 11, matura maj 2019, formuła 2015W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n 1, dane są dwa wyrazy: a1 = 7 i a8 = -49. Suma ośmiu początkowych…1 pktZadanie 32, matura maj 2019, formuła 2015Ciąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n 1. Różnicą tego ciągu jest liczba r = -4,…4 pktZadanie 11, matura maj 2018, formuła 2015Dany jest ciąg (an) określony wzorem an = 5 - 2n/6 dla n 1. Ciąg ten jest1 pktZadanie 12, matura maj 2018, formuła 2015Dla ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n 1, jest spełniony warunek a4 + a5 + a6 = 12. Wtedy1 pktZadanie 31, matura maj 2018, formuła 2015Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n 1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowyc…2 pktZadanie 12, matura maj 2017, formuła 2015W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n 1, dane są: a1 = 5, a2 = 11. Wtedy1 pktZadanie 31, matura maj 2017, formuła 2015W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n 1, dane są: wyraz a1 = 8 i suma trzech początkowych wyrazów tego …2 pktZadanie 14, matura maj 2016, formuła 2015Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-3/2 ). Siódmy wyraz tego…1 pktZadanie 34, matura maj 2015, formuła 2015W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n 1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu j…5 pkt
Stara formuła · 24 zadania
Zadanie 14, matura czerwiec 2020, stara formułaCiąg (an) jest określony wzorem an = 2n2 dla n 1. Różnica a5 - a4 jest równa1 pktZadanie 15, matura czerwiec 2020, stara formułaW ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n 1, czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5.…1 pktZadanie 11, matura maj 2019, stara formułaW ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n 1, dane są dwa wyrazy: a1 = 7 i a8 = -49. Suma ośmiu początkowych…1 pktZadanie 32, matura maj 2019, stara formułaCiąg arytmetyczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n 1. Różnicą tego ciągu jest liczba r = -4,…4 pktZadanie 11, matura maj 2018, stara formułaDany jest ciąg (an) jest określony wzorem an = 5 - 2n/6 dla n 1. Ciąg ten jest1 pktZadanie 12, matura maj 2018, stara formułaDla ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n 1, jest spełniony warunek a4 + a5 + a6 = 12. Wtedy1 pktZadanie 31, matura maj 2018, stara formułaDwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n 1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowyc…2 pktZadanie 12, matura maj 2017, stara formułaW ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n 1, dane są: a1 = 5, a2 = 11. Wtedy1 pktZadanie 31, matura maj 2017, stara formułaW ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n 1, dane są: wyraz a1 = 8 i suma trzech początkowych wyrazów tego …2 pktZadanie 14, matura maj 2016, stara formułaCzternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (-3/2 ). Siódmy wyraz tego…1 pktZadanie 31, matura maj 2016, stara formułaW skończonym ciągu arytmetycznym (an) pierwszy wyraz a1 jest równy 7 oraz ostatni wyraz an jest równy 89. Suma…2 pktZadanie 11, matura maj 2015, stara formułaW ciągu arytmetycznym (an) określonym dla n 1 dane są a1 = -4 i r = 2. Którym wyrazem tego ciągu jest liczba 1…1 pktZadanie 30, matura maj 2015, stara formułaDany jest skończony ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy 444, a ostatni jest równy 653. Każdy wyraz tego c…2 pktZadanie 13, matura sierpień 2014, stara formułaZadanie 13. (1 pkt) Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego na jest równa 35. Pierwszy w…1 pktZadanie 31, matura sierpień 2014, stara formułaZadanie 31. (2 pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny na określony dla 1 n , w którym 5 22 a oraz 10 47 a .…2 pktZadanie 11, matura maj 2014, stara formułaLiczby 2, -1, -4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (an), określonego dla liczb naturalnych …1 pktZadanie 13, matura maj 2013, stara formułaCiąg (an) określony dla n 1 jest arytmetyczny oraz a3 = 10 i a4 = 14. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy1 pktZadanie 12, matura sierpień 2012, stara formułaDany jest ciąg (an) określony wzorem an = n/(-2)n dla n 1. Wówczas1 pktZadanie 28, matura sierpień 2012, stara formułaPierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 3, czwarty wyraz tego ciągu jest równy 15. Oblicz sumę sześciu …2 pktZadanie 14, matura czerwiec 2012, stara formułaCiąg (an) jest określony wzorem an = 2n + 4 dla n 1. Wówczas1 pktZadanie 30, matura czerwiec 2012, stara formułaSuma Sn = a1 + a2 + + an początkowych n wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego (an) jest określona wzorem Sn = n…2 pktZadanie 12, matura maj 2011, stara formułaDany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (an) o wyrazach dodatnich. Wtedy1 pktZadanie 27, matura maj 2011, stara formułaLiczby x, y, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x + y = 8. Oblicz x i y.2 pktZadanie 11, matura maj 2010, stara formułaW ciągu arytmetycznym (an) dane są: a3 = 13 i a5 = 39. Wtedy wyraz a1 jest równy1 pkt