Układy równań liniowych
Matura podstawowa z matematyki · Równania i nierówności · tier B · 29 zadań z arkuszy CKE
Układ dwóch równań liniowych to dwie proste, rozwiązanie to punkt ich przecięcia.
Wzory w skrócie
- Metoda podstawiania: z jednego równania wyznacz niewiadomą i wstaw do drugiego
- Metoda przeciwnych współczynników: dodaj równania tak, by jedna niewiadoma się skróciła
- Proste równoległe, brak rozwiązań, pokrywające się, nieskończenie wiele
Jak rozpoznać zadanie
Wyznacz tę niewiadomą, która ma współczynnik 1 lub −1. Na końcu sprawdź wynik w obu równaniach.
Przykład z rozwiązaniem
Rozwiązaniem układu równań $\begin{cases} -4x + 5y = 9 \\ -5x - 3y = 2 \end{cases}$ jest para liczb
- A $x = 1,\ y = -1$
- B $x = 1,\ y = 1$
- C $x = -1,\ y = -1$
- D $x = -1,\ y = 1$
- 1.Chcemy, żeby przy $y$ stały liczby przeciwne: mnożymy pierwsze równanie przez $3$, a drugie przez $5$: $\begin{cases} -12x + 15y = 27 \\ -25x - 15y = 10 \end{cases}$.
- 2.Dodajemy równania stronami, wyrazy z $y$ się redukują: $-37x = 37$.
- 3.Dzielimy przez $-37$: $x = -1$.
- 4.Podstawiamy $x = -1$ do pierwszego równania: $-4\cdot \left(-1\right) + 5y = 9$, stąd $5y = 5$ i $y = 1$.
Odpowiedź: D. $x = -1,\ y = 1$
W aplikacji dostajesz takie zadania z innymi liczbami i wpisujesz wynik każdego kroku.
Typowe błędy
Te pomyłki prowadzą do błędnych odpowiedzi w zadaniach zamkniętych z tego tematu:
- Błąd znaku przy wyznaczaniu x, sprawdź rozwiązanie w obu równaniach.
- Błąd znaku przy wyznaczaniu y, podstaw wynik do obu równań.
- Dwie różne proste mają co najwyżej jeden punkt wspólny, a pokrywające się, nieskończenie wiele.
- Współczynniki przy x i y nie są proporcjonalne: proste nie są równoległe, przecinają się w jednym punkcie.
Na maturze
8 z 10arkuszy z tym tematem
11zadań w arkuszach formuły 2023
1,3pkt średnio na arkusz
Btier · 2,7% punktów
Policzone z 10 arkuszy CKE formuły 2023 z lat 2022–2026 (tej formuły dotyczy matura 2027). Razem 13 pkt z tego tematu. Jak liczymy tier listę.
Co trzeba umieć wcześniej
Ten temat jest potrzebny do
Lekcja z teorią, zadania krok po kroku z podpowiedziami i powtórka, zanim temat wyleci z głowy.
Zadania z arkuszy CKE z tego tematu
29 zadań z oficjalnych matur, każde z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.
Formuła 2023 · 11 zadań
Zadanie 9, matura marzec 2026Rozwiązaniem układu równań cases 20x + 20y = 1 \\ 26x - 26y = 1 cases jest para liczb: x = x0, y = y0. 1. Suma…1 pktZadanie 7, matura grudzień 2024Para liczb x = -1 i y = 6 jest rozwiązaniem układu równań cases ax + 3y = 20 \\ x + by = 5 cases gdzie a oraz …1 pktZadanie 10, matura maj 2024W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że us…1 pktZadanie 11, matura maj 2024Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), przedstawiono dwie proste równoległe, które są inte…1 pktZadanie 6, matura grudzień 2023Dany jest układ równań cases x - 3y + 5 = 0 \\ 2x + y + 3 = 0 cases Rozwiązaniem tego układu równań jest para …1 pktZadanie 10, matura maj 2023Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) jednego z ni…1 pktZadanie 11, matura maj 2023Dany jest prostokąt o bokach długości a i b, gdzie a > b. Obwód tego prostokąta jest równy 30. Jeden z boków p…2 pktZadanie 3, matura grudzień 2022Właściciel sklepu kupił w hurtowni 50 par identycznych spodni po x zł za parę i 40 identycznych marynarek po y…1 pktZadanie 10, matura grudzień 2022Dany jest układ równań cases y = x - 1 \\ y = -x + 1 cases Na którym z rysunków A–D przedstawiona jest interpr…1 pktZadanie 9, matura wrzesień 2022Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę 1040 zł. Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominałach 20 zł, 50 zł o…1 pktZadanie 5, matura marzec 2022Dane są dwie przecinające się proste. Miary kątów utworzonych przez te proste zapisano za pomocą wyrażeń algeb…2 pkt
Formuła 2015 · 13 zadań
Zadanie 8, matura maj 2024, formuła 2015W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że us…1 pktZadanie 10, matura maj 2024, formuła 2015Na rysunku przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych ukła…1 pktZadanie 14, matura maj 2024, formuła 2015Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem A. f(x) = −(x+ 1)2 −9 B. f(x) = −(x−1)2 + 9 C. f(x) = −(x−1)2 −9 D.…1 pktZadanie 15, matura maj 2024, formuła 2015Dla funkcji f prawdziwa jest równość A. f(−4) = f(6) B. f(−4) = f(4) C. f(−4) = f(5) D. f(−4) = f(7)1 pktZadanie 5, matura maj 2023, formuła 2015Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną jednego z niżej zapisanych układów równań (dwie proste: je…1 pktZadanie 6, matura maj 2022, formuła 2015Rozwiązaniem układu równań cases 11x - 11y = 1 \\ 22x + 22y = -1 cases jest para liczb: x = x0, y = y0. Wtedy1 pktZadanie 8, matura maj 2021, formuła 2015Na rysunku obok przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. Wskaż ten …1 pktZadanie 5, matura marzec 2021, formuła 2015Para liczb x = 1, y = -3 spełnia układ równań cases x - y = a2 \\ (1 + a)x - 3y = -4a cases Wtedy a jest równe1 pktZadanie 7, matura marzec 2020, formuła 2015Rozważmy treść następującego zadania: „Obwód prostokąta o bokach długości a i b jest równy 60. Jeden z boków t…1 pktZadanie 5, matura maj 2019, formuła 2015Para liczb x = 2 i y = 2 jest rozwiązaniem układu równań cases ax + y = 4 \\ -2x + 3y = 2a cases dla1 pktZadanie 6, matura maj 2016, formuła 2015Proste o równaniach 2x - 3y = 4 i 5x - 6y = 7 przecinają się w punkcie P. Stąd wynika, że1 pktZadanie 5, matura maj 2015, formuła 2015Układ równań cases x - y = 3 \\ 2x + 0,5y = 4 cases opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie1 pktZadanie 31, matura maj 2015, formuła 2015Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy …2 pkt
Stara formuła · 5 zadań
Zadanie 5, matura maj 2019, stara formułaPara liczb x = 2 i y = 2 jest rozwiązaniem układu równań cases ax + y = 4 \\ -2x + 3y = 2a cases dla1 pktZadanie 6, matura maj 2016, stara formułaProste o równaniach 2x - 3y = 4 i 5x - 6y = 7 przecinają się w punkcie P. Stąd wynika, że1 pktZadanie 1, matura maj 2014, stara formułaNa rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań: dwie proste – j…1 pktZadanie 4, matura maj 2013, stara formułaRozwiązaniem układu równań cases 5x + 3y = 3 \\ 8x - 6y = 48 cases jest para liczb1 pktZadanie 4, matura maj 2011, stara formułaUkład równań cases 4x + 2y = 10 \\ 6x + ay = 15 cases ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli1 pkt