Zadanie 31: matura z matematyki maj 2015, formuła 2015
Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Równania i nierówności · Układy równań liniowych
Teoria: Układy równań liniowych
Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy $\dfrac{4}{7}$, a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy $1$, to otrzymamy $\dfrac{1}{2}$. Wyznacz ten ułamek.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Schemat: Układ równań w zadaniu z treścią · pojawił się w 9 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 11, matura maj 2026, zadanie 9, matura maj 2025, zadanie 10, matura maj 2024
Na maturze zdający zdobyli średnio 37% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 55%. Sprawozdanie CKE
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Niech szukany ułamek to $\dfrac{x}{y}$. Z pierwszego warunku: $\dfrac{x + \frac{1}{2}x}{y + \frac{1}{2}x} = \dfrac{4}{7}$, czyli $7 \cdot \dfrac{3}{2}x = 4y + 2x$, skąd $17x = 8y$.
- 2.Z drugiego warunku: $\dfrac{x + 1}{y + 1} = \dfrac{1}{2}$, czyli $2x + 2 = y + 1$, skąd $y = 2x + 1$.
- 3.Podstawiamy do pierwszego równania: $17x = 8(2x + 1) = 16x + 8$, więc $x = 8$ i $y = 17$.
- 4.Ułamek $\dfrac{8}{17}$ jest dodatni i nieskracalny. Sprawdzenie: $\dfrac{8 + 4}{17 + 4} = \dfrac{12}{21} = \dfrac{4}{7}$ oraz $\dfrac{9}{18} = \dfrac{1}{2}$.
- 5.Szukany ułamek to $\dfrac{8}{17}$.
W aplikacji każde zadanie z tematu „Układy równań liniowych” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE f15-1505-arkusz.pdf (strona 17), zasady oceniania: f15-1505-zasady.pdf.