Zadanie 32: matura z matematyki maj 2015, formuła 2015
Poziom podstawowy · termin główny · 4 pkt · zadanie otwarte · Stereometria · Przekątne i kąty w bryłach
Teoria: Przekątne i kąty w bryłach
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $16$. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy $\dfrac{3}{5}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Schemat: Kąt nachylenia przekątnej, krawędzi lub ściany do podstawy · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 25.2, matura maj 2024, zadanie 25, matura maj 2023, zadanie 30.2, matura grudzień 2022
Na maturze zdający zdobyli średnio 46% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 55%. Sprawozdanie CKE
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Podstawą jest kwadrat o boku $a$, a jego przekątna ma długość $a\sqrt{2}$. Przekątna graniastosłupa $D$, przekątna podstawy i wysokość $H = 16$ tworzą trójkąt prostokątny; kąt $\alpha$ leży między $D$ a przekątną podstawy.
- 2.Kąt jest ostry i $\cos\alpha = \dfrac{3}{5}$, więc $\sin\alpha = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}$ i $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{4}{3}$.
- 3.Z tangensa: $\dfrac{H}{a\sqrt{2}} = \dfrac{4}{3}$, więc $a\sqrt{2} = \dfrac{3 \cdot 16}{4} = 12$, a stąd $a = \dfrac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$.
- 4.Pole dwóch podstaw: $2a^2 = 2 \cdot 72 = 144$. Pole powierzchni bocznej: $4aH = 4 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 16 = 384\sqrt{2}$.
- 5.Pole powierzchni całkowitej: $P_c = 144 + 384\sqrt{2} = 48(3 + 8\sqrt{2})$.
W aplikacji każde zadanie z tematu „Przekątne i kąty w bryłach” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE f15-1505-arkusz.pdf (strona 18), zasady oceniania: f15-1505-zasady.pdf.