Zadanie 35: matura z matematyki marzec 2021, formuła 2015
Poziom podstawowy · matura próbna · 5 pkt · zadanie otwarte · Ciągi · Ciąg arytmetyczny
Rosnący ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa $10$. Wyrazy $a_3$, $a_5$, $a_{13}$ tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Schemat: Ciąg arytmetyczny i geometryczny jednocześnie · pojawił się w 3 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 15, matura maj 2026, zadanie 14.2, matura maj 2025
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Suma pięciu wyrazów ciągu arytmetycznego: $S_5 = \dfrac{a_1 + a_5}{2} \cdot 5 = 5a_3$, więc $5a_3 = 10$ i $a_3 = 2$.
- 2.Wyrażamy pozostałe wyrazy przez różnicę $r$: $a_5 = 2 + 2r$, $a_{13} = 2 + 10r$.
- 3.Warunek ciągu geometrycznego: $a_5^{2} = a_3 \cdot a_{13}$, czyli $(2 + 2r)^{2} = 2(2 + 10r)$, co daje $4r^{2} - 12r = 0$, więc $r = 0$ lub $r = 3$.
- 4.Ciąg jest rosnący, więc $r > 0$ i $r = 3$. Wtedy $a_1 = a_3 - 2r = 2 - 6 = -4$.
- 5.Wzór ogólny: $a_n = -4 + (n - 1) \cdot 3 = 3n - 7$. Sprawdzenie: $a_3 = 2$, $a_5 = 8$, $a_{13} = 32$, iloraz $4$.
- 6.Odpowiedź: $a_n = 3n - 7$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
W aplikacji każde zadanie z tematu „Ciąg arytmetyczny” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE f15-2103-arkusz.pdf (strona 20), zasady oceniania: f15-2103-zasady.pdf.