Zadanie 15: matura z matematyki maj 2025
Poziom podstawowy · termin główny · 3 pkt · zadanie otwarte · Ciągi · Ciąg arytmetyczny
Zapisz obliczenia.
Wyznacz wartość $m$, dla której trzywyrazowy ciąg $(2m + 11,\ m^2 + 3,\ 5 - m)$ jest arytmetyczny i malejący.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Schemat: Kolejne wyrazy i zależności między wyrazami ciągu arytmetycznego (wyraz środkowy, parametr) · pojawił się w 9 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 14, matura marzec 2026, zadanie 15, matura grudzień 2024, zadanie 16, matura grudzień 2022
Na maturze zdający zdobyli średnio 49% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 61%. Sprawozdanie CKE
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Ciąg trzywyrazowy jest arytmetyczny, gdy środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych: $\dfrac{(2m + 11) + (5 - m)}{2} = m^2 + 3$.
- 2.Mnożymy przez $2$: $m + 16 = 2m^2 + 6$, czyli $2m^2 - m - 10 = 0$.
- 3.$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 81$, więc $m_1 = \dfrac{1 - 9}{4} = -2$, $m_2 = \dfrac{1 + 9}{4} = \dfrac{5}{2}$.
- 4.Sprawdzamy monotoniczność: dla $m = -2$ ciąg to $(7, 7, 7)$ – stały, a nie malejący.
- 5.Dla $m = \dfrac{5}{2}$ ciąg to $\left(16, \dfrac{37}{4}, \dfrac{5}{2}\right)$ – różnica $r = -\dfrac{27}{4} < 0$, więc ciąg maleje.
- 6.Szukana wartość to $m = \dfrac{5}{2}$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
W aplikacji każde zadanie z tematu „Ciąg arytmetyczny” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE 2505-arkusz.pdf (strona 16), zasady oceniania: 2505-zasady.pdf.