Zadanie 34: matura z matematyki maj 2015, formuła 2015
Poziom podstawowy · termin główny · 5 pkt · zadanie otwarte · Ciągi · Ciąg arytmetyczny
W nieskończonym ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n \ge 1$, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $187$. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa $12$. Wyrazy $a_1$, $a_3$, $a_k$ ciągu $(a_n)$, w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny $(b_n)$. Oblicz $k$.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Schemat: Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego · pojawił się w 17 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 15, matura marzec 2026, zadanie 17, matura maj 2024, zadanie 16.3, matura wrzesień 2022
Na maturze zdający zdobyli średnio 31% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 55%. Sprawozdanie CKE
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Suma jedenastu wyrazów: $S_{11} = \dfrac{2a_1 + 10r}{2} \cdot 11 = 11(a_1 + 5r) = 187$, więc $a_1 + 5r = 17$.
- 2.Średnia: $\dfrac{a_1 + (a_1 + 2r) + (a_1 + 8r)}{3} = 12$, czyli $3a_1 + 10r = 36$.
- 3.Z pierwszego równania $a_1 = 17 - 5r$; podstawiamy: $51 - 15r + 10r = 36$, więc $r = 3$ i $a_1 = 2$.
- 4.Wtedy $a_3 = 2 + 2 \cdot 3 = 8$ oraz $a_k = 2 + 3(k - 1) = 3k - 1$. Warunek ciągu geometrycznego: $a_3^2 = a_1 \cdot a_k$, czyli $64 = 2(3k - 1)$.
- 5.Stąd $3k - 1 = 32$, więc $k = 11$. Sprawdzenie: $a_{11} = 32$, a ciąg $2, 8, 32$ jest geometryczny o ilorazie $4$.
- 6.$k = 11$.
W aplikacji każde zadanie z tematu „Ciąg arytmetyczny” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE f15-1505-arkusz.pdf (strona 22), zasady oceniania: f15-1505-zasady.pdf.