matmaradarZaloguj się Zacznij za darmo

Ciąg geometryczny

Matura podstawowa z matematyki · Ciągi · tier A · 40 zadań z arkuszy CKE

W ciągu geometrycznym każdy wyraz powstaje przez pomnożenie przez ten sam iloraz $q$.

Wzory w skrócie

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$
$S_n = a_1 \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$ dla $q \ne 1$; dla $q = 1$: $S_n = n a_1$
$a, b, c$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego $\iff b^2 = ac$

Jak rozpoznać zadanie

Przy sumie sprawdź, czy wykładnik to $n$ (nie $n - 1$). Dla kilku wyrazów można też je po prostu wypisać i dodać.

Przykład z rozwiązaniem

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla $n \ge 1$, przy czym $a_1 = -2$ i iloraz $q = -3$. Suma $3$ początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

A $-18$
B $54$
C $-14$
D $4$

Rozwiązanie

1.
Wzór na sumę: $S_n = a_1\cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$.
2.
$q^{3} = \left(-3\right)^{3} = -27$.
3.
$S_{3} = -2\cdot \dfrac{1 - \left(-27\right)}{1 - \left(-3\right)} = -2\cdot \dfrac{28}{4} = -14$.
4.
Sprawdzenie, wypisujemy wyrazy i dodajemy: $\left(-2\right) + 6 + \left(-18\right) = -14$.

Odpowiedź: C. $-14$

W aplikacji dostajesz takie zadania z innymi liczbami i wpisujesz wynik każdego kroku.

Typowe błędy

Te pomyłki prowadzą do błędnych odpowiedzi w zadaniach zamkniętych z tego tematu:

We wzorze na sumę wykładnik to n, a nie n − 1.
a_1·qⁿ to nie jest wzór na sumę.
To jest wyraz a_5, a nie suma 5 wyrazów.
To jest wyraz a_3, a nie suma 3 wyrazów.

Na maturze

10 z 10arkuszy z tym tematem

15zadań w arkuszach formuły 2023

2,0pkt średnio na arkusz

Atier · 4,2% punktów

Policzone z 10 arkuszy CKE formuły 2023 z lat 2022–2026 (tej formuły dotyczy matura 2027). Razem 20 pkt z tego tematu. Jak liczymy tier listę.

Co trzeba umieć wcześniej

Mapa wszystkich tematów

Ten temat jest potrzebny do

Na tym temacie nie stoją inne tematy matury podstawowej.

Ćwicz „Ciąg geometryczny” w aplikacji

Lekcja z teorią, zadania krok po kroku z podpowiedziami i powtórka, zanim temat wyleci z głowy.

Otwórz lekcję Zadania z działu „Ciągi”

Zadania z arkuszy CKE z tego tematu

40 zadań z oficjalnych matur, każde z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Formuła 2023 · 15 zadań

Zadanie 15, matura maj 2026Ciąg (an) jest określony wzorem an = 3n + 5 dla każdej liczby naturalnej n 1. Trzywyrazowy ciąg (a1, a9, ak) j…3 pkt Zadanie 17, matura maj 2026Ciąg geometryczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n 1. Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu speł…1 pkt Zadanie 16, matura marzec 2026Ciąg geometryczny (an), określony dla każdej liczby naturalnej n 1, jest malejący. Wyrazy tego ciągu spełniają…1 pkt Zadanie 14.2, matura maj 2025Ciąg (an) jest określony następująco: cases a1 = 2 \\ an+1 = 2an + 1 cases dla każdej liczby naturalnej n 1. 1…1 pkt Zadanie 16, matura maj 2025Dany jest ciąg geometryczny (an) określony dla każdej liczby naturalnej n 1, w którym a1 = 27 oraz a2 = 9. Czw…1 pkt Zadanie 14, matura grudzień 2024Ciąg (an) jest określony wzorem an = 3 (-1)n + 10 dla każdej liczby naturalnej n 1. 1. Ciąg (an) jest geometry…1 pkt Zadanie 16, matura grudzień 2024Dany jest ciąg geometryczny (an) określony dla każdej liczby naturalnej n 1, w którym a2 = 1/6 oraz a3 = 1/9. …1 pkt Zadanie 16, matura maj 2024Trzywyrazowy ciąg (12,\ 6,\ 2m - 1) jest geometryczny. Ten ciąg jest A. rosnący B. malejący oraz 1. m = 1/2 2.…1 pkt Zadanie 14, matura grudzień 2023Ciąg (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n 1. Suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest określo…1 pkt Zadanie 15, matura grudzień 2023Trzywyrazowy ciąg (1 - 2a, 12, 48) jest geometryczny. Liczba a jest równa1 pkt Zadanie 16, matura maj 2023Trzywyrazowy ciąg (27, 9, a - 1) jest geometryczny. Liczba a jest równa1 pkt Zadanie 17, matura grudzień 2022Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla każdej liczby naturalnej n 1. W tym ciągu a1 = -5, a2 = 15, a3…2 pkt Zadanie 14.1, matura wrzesień 2022Dany jest ciąg (an) określony wzorem an = 7n/21 dla każdej liczby naturalnej n 1. Pięćdziesiątym wyrazem ciągu…1 pkt Zadanie 14.2, matura wrzesień 2022Dany jest ciąg (an) określony wzorem an = 7n/21 dla każdej liczby naturalnej n 1. 1. Ciąg (an) jest geometrycz…1 pkt Zadanie 13.2, matura marzec 2022Czas T półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę – po przy…3 pkt

Formuła 2015 · 12 zadań

Zadanie 17, matura maj 2024, formuła 2015Ciąg geometryczny (an) jest określony wzorem an= 2n−1, dla każdej liczby naturalnej n≥1. Iloraz tego ciągu jes…1 pkt Zadanie 16, matura maj 2023, formuła 2015Trzywyrazowy ciąg (27, 9, a - 1) jest geometryczny. Liczba a jest równa1 pkt Zadanie 15, matura maj 2022, formuła 2015Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego (an), określonego dla każdej liczby naturalnej n 1, są do…1 pkt Zadanie 13, matura maj 2021, formuła 2015Trzywyrazowy ciąg (15,\ 3x,\ 5/3 ) jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że1 pkt Zadanie 11, matura marzec 2021, formuła 2015Ciąg (x, y, z) jest geometryczny. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy 64. Stąd wynika, że y jest …1 pkt Zadanie 33, matura czerwiec 2020, formuła 2015Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (an), określonego dla n 1, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają waru…4 pkt Zadanie 12, matura marzec 2020, formuła 2015Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich: (81, 3x, 4). Stąd wynika, że1 pkt Zadanie 12, matura maj 2019, formuła 2015Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n 1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest …1 pkt Zadanie 13, matura maj 2018, formuła 2015Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n 1, w którym a1 = 2, a2 = 2 2, a3 = 4 2. Wzór na n-ty wyraz t…1 pkt Zadanie 13, matura maj 2017, formuła 2015Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (24, 6, a - 1). Stąd wynika, że1 pkt Zadanie 15, matura maj 2016, formuła 2015Ciąg (x, 2x + 3, 4x + 3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy1 pkt Zadanie 13, matura maj 2015, formuła 2015W rosnącym ciągu geometrycznym (an), określonym dla n 1, spełniony jest warunek a4 = 3a1. Iloraz q tego ciągu …1 pkt

Stara formuła · 13 zadań

Zadanie 33, matura czerwiec 2020, stara formułaWszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (an), określonego dla n 1, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają waru…4 pkt Zadanie 12, matura maj 2019, stara formułaDany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n 1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest …1 pkt Zadanie 13, matura maj 2018, stara formułaDany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n 1, w którym a1 = 2, a2 = 2 2, a3 = 4 2. Wzór na n-ty wyraz t…1 pkt Zadanie 13, matura maj 2017, stara formułaDany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny (24, 6, a - 1). Stąd wynika, że1 pkt Zadanie 15, matura maj 2016, stara formułaCiąg (x, 2x + 3, 4x + 3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy1 pkt Zadanie 12, matura maj 2015, stara formułaW rosnącym ciągu geometrycznym (an), określonym dla n 1, spełniony jest warunek a4 = 3a1. Iloraz q tego ciągu …1 pkt Zadanie 14, matura sierpień 2014, stara formułaZadanie 14. (1 pkt) Ciąg geometryczny   na określony jest wzorem 3 4 n na  dla 1 n . Iloraz tego ciągu je…1 pkt Zadanie 13, matura maj 2014, stara formułaLiczby: x - 2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest r…1 pkt Zadanie 12, matura maj 2013, stara formułaCiąg (27, 18, x + 5) jest geometryczny. Wtedy1 pkt Zadanie 13, matura sierpień 2012, stara formułaW ciągu geometrycznym (an) dane są: a1 = 36, a2 = 18. Wtedy1 pkt Zadanie 15, matura czerwiec 2012, stara formułaCiąg (2 2, 4, a) jest geometryczny. Wówczas1 pkt Zadanie 11, matura maj 2011, stara formułaDany jest nieskończony ciąg geometryczny (an), w którym a3 = 1 i a4 = 2/3. Wtedy1 pkt Zadanie 12, matura maj 2010, stara formułaW ciągu geometrycznym (an) dane są: a1 = 3 i a4 = 24. Iloraz tego ciągu jest równy1 pkt

← Ciąg arytmetyczny Funkcje trygonometryczne kąta ostrego →