Zadanie 16: matura z matematyki grudzień 2023
Poziom podstawowy · arkusz diagnostyczny · 2 pkt · zadanie otwarte · Trygonometria · Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
Teoria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–F.
Dane są dwa kąty o miarach $\alpha$ oraz $\beta$, spełniające warunki: $\alpha \in (0^\circ, 180^\circ)$ i $\operatorname{tg} \alpha = -\dfrac{2}{3}$ oraz $\beta \in (0^\circ, 180^\circ)$ i $\cos \beta = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$.
Na rysunkach A–F w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ zaznaczono różne kąty – w tym kąt o mierze $\alpha$ oraz kąt o mierze $\beta$. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią $Ox$, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych: $A$ lub $B$, lub $C$, lub $D$, lub $E$, lub $F$. (Z rysunków: $A = (-2, 3)$, $B = (-3, 2)$, $C = (3, 2)$, $D = (1, 3)$, $E = (-1, 3)$, $F = (3, 1)$.)
16.1. Kąt $\alpha$ jest zaznaczony na rysunku ……
16.2. Kąt $\beta$ jest zaznaczony na rysunku ……
Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:
Pokaż odpowiedź
Schemat: Kąt w układzie współrzędnych (ramię przez punkt, nachylenie prostej, kąt rozwarty) · pojawił się w 9 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 13.2, matura maj 2026, zadanie 18, matura maj 2024, zadanie 18, matura maj 2023
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Jeśli drugie ramię kąta przechodzi przez punkt $(x, y)$, to $\operatorname{tg} = \dfrac{y}{x}$, a $\cos = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$.
- 2.Kąt $\alpha$ ma ujemny tangens, więc jest rozwarty ($x < 0$, $y > 0$). Dla $B = (-3, 2)$: $\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{2}{-3} = -\dfrac{2}{3}$ (dla $A$ wychodzi $-\dfrac{3}{2}$, dla $E$ wychodzi $-3$).
- 3.Kąt $\beta$ ma dodatni cosinus, więc jest ostry. Dla $D = (1, 3)$: $\cos \beta = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 9}} = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$.
- 4.Sprawdzenie dla pozostałych kątów ostrych: dla $C = (3, 2)$ jest $\cos = \dfrac{3}{\sqrt{13}}$, dla $F = (3, 1)$ jest $\cos = \dfrac{3}{\sqrt{10}}$ – nie pasują.
- 5.Odpowiedź: 16.1 – B, 16.2 – D.
W aplikacji każde zadanie z tematu „Funkcje trygonometryczne kąta ostrego” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE 2312-arkusz.pdf (strona 16), zasady oceniania: .