Zadanie 27: matura z matematyki maj 2013, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Trygonometria · Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Oblicz wartość wyrażenia $\sin^2\alpha - 3\cos^2\alpha$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $\sin^2\alpha - 3\cos^2\alpha = 0$

Schemat: Wartość wyrażenia trygonometrycznego (jedynka, tożsamości, kąty dopełniające) · pojawił się w 17 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 17, matura marzec 2026, zadanie 19, matura maj 2024, zadanie 19, matura maj 2023

Na maturze zdający zdobyli średnio 64% punktów za to zadanie (umiarkowanie trudne). Średni wynik całego arkusza: 55%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Obliczamy $\sin^2\alpha = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{4}$.
2.
Z jedynki trygonometrycznej: $\cos^2\alpha = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$ (to samo daje $\alpha = 60^\circ$, $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$).
3.
Podstawiamy: $\dfrac{3}{4} - 3 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{4} = 0$.
4.
Wartość wyrażenia jest równa $0$.

Odpowiedź: $\sin^2\alpha - 3\cos^2\alpha = 0$

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Funkcje trygonometryczne kąta ostrego” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Źródło treści: arkusz CKE s-1305-arkusz.pdf (strona 11), zasady oceniania: s-1305-zasady.pdf.