Zadanie 28: matura z matematyki maj 2013, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Wyrażenia algebraiczne · Dowody (podzielność, nierówności)

Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x, y, z$ takich, że $x + y + z = 0$, prawdziwa jest nierówność $xy + yz + zx \le 0$. Możesz skorzystać z tożsamości $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Zadanie 28 z arkusza CKE, maj 2013 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $xy + yz + zx = -\dfrac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2) \le 0$

Schemat: Dowód nierówności algebraicznej (sprowadzenie do kwadratu) · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 32, matura maj 2023, formuła 2015, zadanie 31, matura maj 2022, formuła 2015, zadanie 30, matura maj 2021, formuła 2015

Na maturze zdający zdobyli średnio 12% punktów za to zadanie (bardzo trudne). Średni wynik całego arkusza: 55%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Skoro $x + y + z = 0$, to także $(x + y + z)^2 = 0$.
2.
Z podanej tożsamości: $x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 0$.
3.
Stąd $xy + yz + zx = -\dfrac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2)$.
4.
Suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna: $x^2 + y^2 + z^2 \ge 0$, więc prawa strona jest niedodatnia.
5.
Zatem $xy + yz + zx \le 0$, co kończy dowód.

Odpowiedź: $xy + yz + zx = -\dfrac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2) \le 0$

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Dowody (podzielność, nierówności)

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 7, matura maj 2026Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n2 + 21n jest podzielna przez 14.2 pkt Zadanie 21, matura maj 2026Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a oraz |LM| = b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N (zobac…2 pkt Zadanie 5, matura marzec 2026Wykaż, że liczba 25014 - 24994 jest podzielna przez 10\,000.2 pkt Zadanie 21, matura marzec 2026Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 2 |CD|. Przekątna AC tego trapezu je…3 pkt Zadanie 5, matura maj 2025Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n2 + 2n + 7 jest podzielna przez 4.2 pkt Zadanie 3, matura grudzień 2024Wykaż, że liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.2 pkt

← Zadanie 27 Zadanie 29 →

Źródło treści: arkusz CKE s-1305-arkusz.pdf (strona 12), zasady oceniania: s-1305-zasady.pdf.