Zadanie 31: matura z matematyki maj 2022, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Wyrażenia algebraiczne · Dowody (podzielność, nierówności)

Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i każdej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b \ne a$, spełniona jest nierówność $\dfrac{a^2 + b^2}{2} > \left(\dfrac{a + b}{2}\right)^2$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Zadanie 31 z arkusza CKE, maj 2022 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Nierówność jest równoważna $(a - b)^2 > 0$, co jest prawdą dla $a \ne b$.

Schemat: Dowód nierówności algebraicznej (sprowadzenie do kwadratu) · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 32, matura maj 2023, formuła 2015, zadanie 30, matura maj 2021, formuła 2015, zadanie 28, matura czerwiec 2020, formuła 2015

Na maturze zdający zdobyli średnio 23% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 58%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Prawą stronę zapisujemy jako $\dfrac{(a + b)^2}{4}$ i mnożymy obie strony nierówności przez $4$: $2a^2 + 2b^2 > (a + b)^2$.
2.
Rozwijamy: $2a^2 + 2b^2 > a^2 + 2ab + b^2$, czyli $a^2 - 2ab + b^2 > 0$.
3.
Ze wzoru skróconego mnożenia: $(a - b)^2 > 0$.
4.
Ponieważ $a \ne b$, liczba $a - b$ jest różna od zera, więc jej kwadrat jest dodatni. Wszystkie przekształcenia były równoważne.
5.
Nierówność $\dfrac{a^2 + b^2}{2} > \left(\dfrac{a + b}{2}\right)^2$ jest prawdziwa, co kończy dowód.

Odpowiedź: Nierówność jest równoważna $(a - b)^2 > 0$, co jest prawdą dla $a \ne b$.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 31

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Dowody (podzielność, nierówności)

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 7, matura maj 2026Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n2 + 21n jest podzielna przez 14.2 pkt Zadanie 21, matura maj 2026Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a oraz |LM| = b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N (zobac…2 pkt Zadanie 5, matura marzec 2026Wykaż, że liczba 25014 - 24994 jest podzielna przez 10\,000.2 pkt Zadanie 21, matura marzec 2026Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 2 |CD|. Przekątna AC tego trapezu je…3 pkt Zadanie 5, matura maj 2025Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n2 + 2n + 7 jest podzielna przez 4.2 pkt Zadanie 3, matura grudzień 2024Wykaż, że liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.2 pkt

← Zadanie 30 Zadanie 32 →

Źródło treści: arkusz CKE f15-2205-arkusz.pdf (strona 18), zasady oceniania: f15-2205-zasady.pdf.