Zadanie 32: matura z matematyki maj 2022, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Trygonometria · Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg} \alpha = 2$. Oblicz wartość wyrażenia $\sin^2 \alpha$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $\sin^2 \alpha = \dfrac{4}{5}$

Schemat: Wartość wyrażenia trygonometrycznego (jedynka, tożsamości, kąty dopełniające) · pojawił się w 17 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 17, matura marzec 2026, zadanie 19, matura maj 2024, zadanie 19, matura maj 2023

Na maturze zdający zdobyli średnio 42% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 58%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Z definicji tangensa $\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 2$, więc $\sin \alpha = 2\cos \alpha$, czyli $\cos^2 \alpha = \dfrac{\sin^2 \alpha}{4}$.
2.
Podstawiamy do jedynki trygonometrycznej: $\sin^2 \alpha + \dfrac{\sin^2 \alpha}{4} = 1$, czyli $\dfrac{5}{4}\sin^2 \alpha = 1$.
3.
Stąd $\sin^2 \alpha = \dfrac{4}{5}$.
4.
$\sin^2 \alpha = \dfrac{4}{5}$.

Odpowiedź: $\sin^2 \alpha = \dfrac{4}{5}$

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Funkcje trygonometryczne kąta ostrego” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Źródło treści: arkusz CKE f15-2205-arkusz.pdf (strona 19), zasady oceniania: f15-2205-zasady.pdf.