Zadanie 33: matura z matematyki maj 2022, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Trójkąty i wielokąty foremne

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$. Dwusieczna kąta $BAC$ przecina bok $BC$ w takim punkcie $D$, że trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta $BAC$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 33 z arkusza CKE, maj 2022 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $|\angle BAC| = 72^\circ$

Schemat: Trójkąty podobne (skala, boki, stosunek pól i obwodów) · pojawił się w 16 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 20, matura maj 2025, zadanie 22, matura maj 2023, zadanie 22, matura grudzień 2022

Na maturze zdający zdobyli średnio 29% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 58%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Oznaczamy $|\angle BAC| = |\angle ABC| = \alpha$ (kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego); wtedy $|\angle ACB| = 180^\circ - 2\alpha$.
2.
Dwusieczna dzieli kąt przy $A$ na połowy, więc w trójkącie $BDA$: $|\angle DAB| = \dfrac{\alpha}{2}$, $|\angle ABD| = \alpha$, $|\angle BDA| = 180^\circ - \dfrac{3\alpha}{2}$.
3.
Trójkąty są podobne, więc mają te same kąty. Kąt $\dfrac{\alpha}{2}$ jest mniejszy od $\alpha$, zatem musi odpowiadać kątowi $ACB$: $\dfrac{\alpha}{2} = 180^\circ - 2\alpha$.
4.
Stąd $\dfrac{5\alpha}{2} = 180^\circ$, czyli $\alpha = 72^\circ$ (sprawdzenie: $|\angle BDA| = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$, więc kąty obu trójkątów to $72^\circ$, $72^\circ$, $36^\circ$).
5.
$|\angle BAC| = 72^\circ$.

Odpowiedź: $|\angle BAC| = 72^\circ$

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 33

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Trójkąty i wielokąty foremne” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Trójkąty i wielokąty foremne

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 20, matura maj 2026Na płaszczyźnie dane są cztery proste: k, l, m oraz n. Proste k oraz l są równoległe. Prosta m przecina proste…1 pkt Zadanie 24.2, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (0, -3), B = (2, 1) oraz C = (0, 2) są wierzchołkami …1 pkt Zadanie 33.2, matura maj 2026W chwili t = 0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajdu…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2025W trójkącie równoramiennym ABC dane są: |AC| = |BC| = 4 i |AB| = 3. Na boku BC, między punktami B i C, wybrano…1 pkt Zadanie 19, matura grudzień 2024W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 7,5. Krótsza przekątna AC ma długość równą 6 i dzi…4 pkt Zadanie 20, matura maj 2024Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a, |LM| = b oraz a b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N t…1 pkt

← Zadanie 32 Zadanie 34 →

Źródło treści: arkusz CKE f15-2205-arkusz.pdf (strona 20), zasady oceniania: f15-2205-zasady.pdf.