matmaradar
Egzamin ósmoklasistyMaturaNaukaZadania CKETematyMoje konto
Zaloguj sięZacznij za darmoZacznij

Zadanie 32: matura z matematyki maj 2023, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Wyrażenia algebraiczne · Dowody (podzielność, nierówności)

Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x \ne 1$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $x^2 + y^2 + 5 > 2x + 4y$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Zadanie 32 z arkusza CKE, maj 2023 (oryginał)
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź: Nierówność jest równoważna $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 > 0$, co jest prawdą, bo $(x - 1)^2 > 0$ dla $x \ne 1$, a $(y - 2)^2 \ge 0$.

Schemat: Dowód nierówności algebraicznej (sprowadzenie do kwadratu) · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 31, matura maj 2022, formuła 2015, zadanie 30, matura maj 2021, formuła 2015, zadanie 28, matura czerwiec 2020, formuła 2015

Na maturze zdający zdobyli średnio 6% punktów za to zadanie (bardzo trudne). Średni wynik całego arkusza: 51%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie
  1. 1.
    Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę: $x^2 - 2x + y^2 - 4y + 5 > 0$.
  2. 2.
    Rozkładamy $5 = 1 + 4$ i grupujemy: $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) > 0$.
  3. 3.
    Ze wzorów skróconego mnożenia: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 > 0$.
  4. 4.
    Ponieważ $x \ne 1$, mamy $(x - 1)^2 > 0$, a $(y - 2)^2 \ge 0$ dla każdego $y$; suma liczby dodatniej i nieujemnej jest dodatnia.
  5. 5.
    Nierówność $x^2 + y^2 + 5 > 2x + 4y$ jest prawdziwa, co kończy dowód.
Odpowiedź: Nierówność jest równoważna $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 > 0$, co jest prawdą, bo $(x - 1)^2 > 0$ dla $x \ne 1$, a $(y - 2)^2 \ge 0$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 32Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 32
Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozęLekcja: Dowody (podzielność, nierówności)

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 7, matura maj 2026Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n2 + 21n jest podzielna przez 14.2 pktZadanie 21, matura maj 2026Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a oraz |LM| = b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N (zobac…2 pktZadanie 5, matura marzec 2026Wykaż, że liczba 25014 - 24994 jest podzielna przez 10\,000.2 pktZadanie 21, matura marzec 2026Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 2 |CD|. Przekątna AC tego trapezu je…3 pktZadanie 5, matura maj 2025Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n2 + 2n + 7 jest podzielna przez 4.2 pktZadanie 3, matura grudzień 2024Wykaż, że liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.2 pkt
← Zadanie 31Zadanie 33 →

Źródło treści: arkusz CKE f15-2305-arkusz.pdf (strona 22), zasady oceniania: f15-2305-zasady.pdf.