Zadanie 30: matura z matematyki maj 2021, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Wyrażenia algebraiczne · Dowody (podzielność, nierówności)

Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb $a$, $b$ i $c$ takich, że $a < b$, spełniona jest nierówność $\dfrac{a}{b} < \dfrac{a + c}{b + c}$

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa, bo $\dfrac{a}{b} - \dfrac{a+c}{b+c} = \dfrac{c(a - b)}{b(b + c)} < 0$.

Schemat: Dowód nierówności algebraicznej (sprowadzenie do kwadratu) · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 32, matura maj 2023, formuła 2015, zadanie 31, matura maj 2022, formuła 2015, zadanie 28, matura czerwiec 2020, formuła 2015

Na maturze zdający zdobyli średnio 27% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 56%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Badamy znak różnicy obu stron: $\dfrac{a}{b} - \dfrac{a + c}{b + c}$.
2.
Sprowadzamy do wspólnego mianownika: $\dfrac{a(b + c) - b(a + c)}{b(b + c)} = \dfrac{ab + ac - ab - bc}{b(b + c)} = \dfrac{c(a - b)}{b(b + c)}$.
3.
Mianownik $b(b + c)$ jest dodatni, bo $b > 0$ i $c > 0$.
4.
Licznik $c(a - b)$ jest ujemny, bo $c > 0$, a z założenia $a < b$ mamy $a - b < 0$.
5.
Różnica jest więc ujemna, czyli $\dfrac{a}{b} < \dfrac{a + c}{b + c}$. To należało wykazać.

Odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa, bo $\dfrac{a}{b} - \dfrac{a+c}{b+c} = \dfrac{c(a - b)}{b(b + c)} < 0$.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Źródło treści: arkusz CKE f15-2105-arkusz.pdf (strona 17), zasady oceniania: f15-2105-zasady.pdf.