Zadanie 28: matura z matematyki czerwiec 2012, stara formuła
Poziom podstawowy · termin dodatkowy · 2 pkt · zadanie otwarte · Trygonometria · Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
Teoria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
Uzasadnij, że jeżeli $\alpha$ jest kątem ostrym, to $\sin^4 \alpha + \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^4 \alpha$.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Schemat: Wartość wyrażenia trygonometrycznego (jedynka, tożsamości, kąty dopełniające) · pojawił się w 17 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 17, matura marzec 2026, zadanie 19, matura maj 2024, zadanie 19, matura maj 2023
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Przenosimy wyrazy tak, by po każdej stronie była jedna funkcja: równość jest równoważna $\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos^4 \alpha - \cos^2 \alpha$.
- 2.Lewa strona: $\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha (\sin^2 \alpha - 1) = -\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$, bo z jedynki trygonometrycznej $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$.
- 3.Prawa strona: $\cos^4 \alpha - \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha (\cos^2 \alpha - 1) = -\cos^2 \alpha \sin^2 \alpha$, bo $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$.
- 4.Obie strony są równe $-\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$, więc równość jest prawdziwa.
W aplikacji każde zadanie z tematu „Funkcje trygonometryczne kąta ostrego” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE s-1206-arkusz.pdf (strona 11), zasady oceniania: s-1206-zasady.pdf.