Zadanie 29: matura z matematyki czerwiec 2012, stara formuła
Poziom podstawowy · termin dodatkowy · 2 pkt · zadanie otwarte · Wyrażenia algebraiczne · Dowody (podzielność, nierówności)
Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)
Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź: Suma kwadratów jest postaci $3n^2 + 2$, więc daje resztę $2$ z dzielenia przez $3$.
Schemat: Podzielność lub reszta z dzielenia wyrażenia z n · pojawił się w 10 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 7, matura maj 2026, zadanie 5, matura maj 2025, zadanie 3, matura maj 2024
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Trzy kolejne liczby całkowite zapisujemy jako $n - 1$, $n$, $n + 1$, gdzie $n$ jest liczbą całkowitą.
- 2.Suma kwadratów: $(n - 1)^2 + n^2 + (n + 1)^2 = n^2 - 2n + 1 + n^2 + n^2 + 2n + 1$.
- 3.Po redukcji wyrazów $-2n$ i $2n$ otrzymujemy $3n^2 + 2$.
- 4.Liczba $3n^2$ jest podzielna przez $3$, więc $3n^2 + 2$ daje przy dzieleniu przez $3$ resztę $2$.
Odpowiedź: Suma kwadratów jest postaci $3n^2 + 2$, więc daje resztę $2$ z dzielenia przez $3$.
W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Zadanie 7, matura maj 2026Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n2 + 21n jest podzielna przez 14.2 pktZadanie 21, matura maj 2026Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a oraz |LM| = b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N (zobac…2 pktZadanie 5, matura marzec 2026Wykaż, że liczba 25014 - 24994 jest podzielna przez 10\,000.2 pktZadanie 21, matura marzec 2026Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 2 |CD|. Przekątna AC tego trapezu je…3 pktZadanie 5, matura maj 2025Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n2 + 2n + 7 jest podzielna przez 4.2 pktZadanie 3, matura grudzień 2024Wykaż, że liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.2 pkt
Źródło treści: arkusz CKE s-1206-arkusz.pdf (strona 12), zasady oceniania: s-1206-zasady.pdf.