Zadanie 29: matura z matematyki maj 2018, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Kąty w okręgu

Okręgi o środkach odpowiednio $A$ i $B$ są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku $A$ jest równy $2$. Uzasadnij, że promień okręgu o środku $B$ jest mniejszy od $\sqrt{2} - 1$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 29 z arkusza CKE, maj 2018 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Dowód: $2r < |SE| = 2\sqrt{2} - 2$, więc $r < \sqrt{2} - 1$

Schemat: Okręgi styczne · pojawił się w 4 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 29, matura maj 2018, formuła 2015, zadanie 28, matura maj 2017, formuła 2015, zadanie 28, matura maj 2017, stara formuła

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Niech $S$ będzie wierzchołkiem kąta prostego. Środek $A$ jest odległy o $2$ od obu ramion, więc jest wierzchołkiem kwadratu o boku $2$ i $|AS| = 2\sqrt{2}$.
2.
Środki obu okręgów leżą na dwusiecznej kąta, a punkt styczności $E$ okręgów leży na odcinku $AS$, przy czym $|AE| = 2$.
3.
Zatem $|SE| = |AS| - |AE| = 2\sqrt{2} - 2$.
4.
Średnica mniejszego okręgu leżąca na dwusiecznej zaczyna się w $E$ i jest zawarta w odcinku $SE$, ale nie sięga punktu $S$ (okrąg leży wewnątrz kąta i nie zawiera wierzchołka), więc $2r < 2\sqrt{2} - 2$.
5.
Stąd $r < \sqrt{2} - 1$, co należało uzasadnić. (Dokładnie: $r = 2(3 - 2\sqrt{2}) = 6 - 4\sqrt{2}$.)

Odpowiedź: Dowód: $2r < |SE| = 2\sqrt{2} - 2$, więc $r < \sqrt{2} - 1$

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 29

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Kąty w okręgu” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Kąty w okręgu

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 19, matura maj 2026Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt B leży na krótszym łuku AC. Kąt CDA ma miarę …1 pkt Zadanie 22, matura maj 2026W okrąg O o promieniu 9 3 wpisano trójkąt równoboczny T. Bok trójkąta T ma długość ……… .1 pkt Zadanie 19, matura marzec 2026W każdym trójkącie środek okręgu wpisanego w ten trójkąt leży w punkcie przecięcia się1 pkt Zadanie 20, matura marzec 2026Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt K jest punktem przecięcia cięciwy AC i średni…1 pkt Zadanie 22, matura marzec 2026Sześciokąt foremny wpisano w koło o promieniu 1 (zobacz rysunek). Pole zacieniowanej figury (części koła leżąc…1 pkt Zadanie 19, matura maj 2025Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Miara kąta BCA jest równa 50 (zobacz rysunek). Miara k…1 pkt

← Zadanie 28 Zadanie 30 →

Źródło treści: arkusz CKE s-1805-arkusz.pdf (strona 17), zasady oceniania: s-1805-zasady.pdf.