Zadanie 28: matura z matematyki maj 2018, stara formuła
Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Wyrażenia algebraiczne · Dowody (podzielność, nierówności)
Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$, $b$ prawdziwa jest nierówność $\dfrac{1}{2a} + \dfrac{1}{2b} \ge \dfrac{2}{a + b}$.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Schemat: Dowód nierówności algebraicznej (sprowadzenie do kwadratu) · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 32, matura maj 2023, formuła 2015, zadanie 31, matura maj 2022, formuła 2015, zadanie 30, matura maj 2021, formuła 2015
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Lewą stronę sprowadzamy do wspólnego mianownika: $\dfrac{1}{2a} + \dfrac{1}{2b} = \dfrac{a + b}{2ab}$.
- 2.Liczby $a$, $b$ są dodatnie, więc $2ab > 0$ i $a + b > 0$. Mnożymy obie strony przez $2ab(a + b)$ bez zmiany zwrotu: $(a + b)^2 \ge 4ab$.
- 3.Przekształcamy: $a^2 + 2ab + b^2 - 4ab \ge 0$, czyli $a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$.
- 4.To jest $(a - b)^2 \ge 0$ – nierówność prawdziwa, bo kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.
- 5.Wszystkie przekształcenia były równoważne, więc wyjściowa nierówność jest prawdziwa dla dowolnych dodatnich $a$, $b$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE s-1805-arkusz.pdf (strona 16), zasady oceniania: s-1805-zasady.pdf.