Zadanie 29: matura z matematyki maj 2018, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Trójkąty i wielokąty foremne

Uzasadnij.

Okręgi o środkach odpowiednio $A$ i $B$ są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku $A$ jest równy $2$. Uzasadnij, że promień okręgu o środku $B$ jest mniejszy od $\sqrt{2} - 1$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 29 z arkusza CKE, maj 2018 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Mniejszy okrąg mieści się między wierzchołkiem kąta a dużym okręgiem, na odcinku długości $2\sqrt{2} - 2$, więc $2r < 2\sqrt{2} - 2$ i $r < \sqrt{2} - 1$.

Schemat: Okręgi styczne · pojawił się w 4 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 29, matura maj 2018, stara formuła, zadanie 28, matura maj 2017, formuła 2015, zadanie 28, matura maj 2017, stara formuła

Na maturze zdający zdobyli średnio 20% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 56%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Niech $S$ będzie wierzchołkiem kąta prostego. Środek $A$ jest odległy o $2$ od obu ramion, więc leży na dwusiecznej kąta i $|AS|$ jest przekątną kwadratu o boku $2$: $|AS| = 2\sqrt{2}$.
2.
Niech $E$ będzie punktem przecięcia odcinka $AS$ z okręgiem o środku $A$. Wtedy $|AE| = 2$, więc $|SE| = 2\sqrt{2} - 2$.
3.
Środek $B$ też leży na dwusiecznej, a punkt styczności okręgów leży na prostej $AB$, czyli jest to punkt $E$. Średnica okręgu o środku $B$ leżąca na dwusiecznej ma jeden koniec w $E$, a drugi wewnątrz odcinka $SE$ (okrąg nie przechodzi przez $S$, bo dotyka ramion kąta w innych punktach).
4.
Zatem $2r < 2\sqrt{2} - 2$.
5.
Stąd $r < \sqrt{2} - 1$, co należało uzasadnić.

Odpowiedź: Mniejszy okrąg mieści się między wierzchołkiem kąta a dużym okręgiem, na odcinku długości $2\sqrt{2} - 2$, więc $2r < 2\sqrt{2} - 2$ i $r < \sqrt{2} - 1$.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 29

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Trójkąty i wielokąty foremne” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Trójkąty i wielokąty foremne

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 20, matura maj 2026Na płaszczyźnie dane są cztery proste: k, l, m oraz n. Proste k oraz l są równoległe. Prosta m przecina proste…1 pkt Zadanie 24.2, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (0, -3), B = (2, 1) oraz C = (0, 2) są wierzchołkami …1 pkt Zadanie 33.2, matura maj 2026W chwili t = 0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajdu…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2025W trójkącie równoramiennym ABC dane są: |AC| = |BC| = 4 i |AB| = 3. Na boku BC, między punktami B i C, wybrano…1 pkt Zadanie 19, matura grudzień 2024W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 7,5. Krótsza przekątna AC ma długość równą 6 i dzi…4 pkt Zadanie 20, matura maj 2024Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a, |LM| = b oraz a b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N t…1 pkt

← Zadanie 28 Zadanie 30 →

Źródło treści: arkusz CKE f15-1805-arkusz.pdf (strona 17), zasady oceniania: f15-1805-zasady.pdf.