Zadanie 28: matura z matematyki maj 2018, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Wyrażenia algebraiczne · Dowody (podzielność, nierówności)

Wykaż.

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$, $b$ prawdziwa jest nierówność $\dfrac{1}{2a} + \dfrac{1}{2b} \ge \dfrac{2}{a + b}$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Po pomnożeniu przez $2ab(a + b) > 0$ nierówność przechodzi w $(a - b)^2 \ge 0$, która jest zawsze prawdziwa.

Schemat: Dowód nierówności algebraicznej (sprowadzenie do kwadratu) · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 32, matura maj 2023, formuła 2015, zadanie 31, matura maj 2022, formuła 2015, zadanie 30, matura maj 2021, formuła 2015

Na maturze zdający zdobyli średnio 21% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 56%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Liczby $a$, $b$ są dodatnie, więc $2ab(a + b) > 0$ i mnożąc przez to wyrażenie nie zmieniamy zwrotu nierówności.
2.
Po pomnożeniu: $b(a + b) + a(a + b) \ge 4ab$, czyli $(a + b)^2 \ge 4ab$.
3.
Rozwijamy i przenosimy: $a^2 + 2ab + b^2 - 4ab \ge 0$, czyli $a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$, tzn. $(a - b)^2 \ge 0$.
4.
Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, a wszystkie przekształcenia były równoważne.
5.
Zatem wyjściowa nierówność jest prawdziwa dla dowolnych dodatnich $a$, $b$, co kończy dowód.

Odpowiedź: Po pomnożeniu przez $2ab(a + b) > 0$ nierówność przechodzi w $(a - b)^2 \ge 0$, która jest zawsze prawdziwa.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Źródło treści: arkusz CKE f15-1805-arkusz.pdf (strona 16), zasady oceniania: f15-1805-zasady.pdf.