Zadanie 24: matura z matematyki grudzień 2023
Poziom podstawowy · arkusz diagnostyczny · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Kąty w okręgu
Zapisz obliczenia.
Dany jest okrąg $\mathcal{O}$ o środku w punkcie $S$. Średnica $AB$ tego okręgu przecina cięciwę $CD$ w punkcie $P$ (zobacz rysunek). Ponadto: $|PB| = 4$, $|PC| = 8$ oraz $|PD| = 5$.
Oblicz promień okręgu $\mathcal{O}$.
Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź: $r = 7$
Schemat: Inne zadania z okręgiem (cięciwy, dowody z kątami) · pojawił się w 2 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 31, matura maj 2014, stara formuła
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Kąty wpisane $DBA$ i $DCA$ są oparte na tym samym łuku $AD$, więc są równe; kąty $DPB$ i $APC$ są wierzchołkowe. Zatem trójkąty $DPB$ i $APC$ są podobne.
- 2.Z podobieństwa: $\dfrac{|PA|}{|PD|} = \dfrac{|PC|}{|PB|}$, czyli $|PA| \cdot |PB| = |PC| \cdot |PD|$.
- 3.Podstawiamy: $|PA| \cdot 4 = 8 \cdot 5 = 40$, stąd $|PA| = 10$.
- 4.Średnica: $|AB| = |PA| + |PB| = 10 + 4 = 14$, więc promień $r = 7$.
- 5.Promień okręgu jest równy $7$.
Odpowiedź: $r = 7$
W aplikacji każde zadanie z tematu „Kąty w okręgu” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Zadanie 19, matura maj 2026Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt B leży na krótszym łuku AC. Kąt CDA ma miarę …1 pktZadanie 22, matura maj 2026W okrąg O o promieniu 9 3 wpisano trójkąt równoboczny T. Bok trójkąta T ma długość ……… .1 pktZadanie 19, matura marzec 2026W każdym trójkącie środek okręgu wpisanego w ten trójkąt leży w punkcie przecięcia się1 pktZadanie 20, matura marzec 2026Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt K jest punktem przecięcia cięciwy AC i średni…1 pktZadanie 22, matura marzec 2026Sześciokąt foremny wpisano w koło o promieniu 1 (zobacz rysunek). Pole zacieniowanej figury (części koła leżąc…1 pktZadanie 19, matura maj 2025Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Miara kąta BCA jest równa 50 (zobacz rysunek). Miara k…1 pkt
Źródło treści: arkusz CKE 2312-arkusz.pdf (strona 22), zasady oceniania: .