Zadanie 31: matura z matematyki maj 2014, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Kąty w okręgu

Środek $S$ okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym $ABC$, o ramionach $AC$ i $BC$, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że miara kąta wypukłego $ASB$ jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego $SBC$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 31 z arkusza CKE, maj 2014 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Jeśli $|\angle SBC| = \alpha$, to $|\angle ACB| = 2\alpha$, a kąt środkowy $ASB$ oparty na tym samym łuku co kąt wpisany $ACB$ ma miarę $4\alpha$.

Schemat: Inne zadania z okręgiem (cięciwy, dowody z kątami) · pojawił się w 2 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 24, matura grudzień 2023

Na maturze zdający zdobyli średnio 22% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 48%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Oznaczmy $|\angle SBC| = \alpha$. Odcinki $SB$ i $SC$ są promieniami, więc trójkąt $BCS$ jest równoramienny i $|\angle SCB| = \alpha$.
2.
Odcinki $SA$ i $SC$ też są promieniami, a $|AC| = |BC|$, więc trójkąty $ACS$ i $BCS$ są przystające (cecha bbb). Stąd $|\angle SCA| = |\angle SCB| = \alpha$.
3.
Środek $S$ leży wewnątrz trójkąta, więc $|\angle ACB| = |\angle SCA| + |\angle SCB| = 2\alpha$.
4.
Kąt $ACB$ jest kątem wpisanym, a kąt $ASB$ kątem środkowym opartym na tym samym łuku $AB$ (punkt $C$ i środek $S$ leżą po tej samej stronie cięciwy $AB$). Kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego: $|\angle ASB| = 2 \cdot 2\alpha = 4\alpha$.
5.
Zatem $|\angle ASB| = 4|\angle SBC|$, co należało wykazać.

Odpowiedź: Jeśli $|\angle SBC| = \alpha$, to $|\angle ACB| = 2\alpha$, a kąt środkowy $ASB$ oparty na tym samym łuku co kąt wpisany $ACB$ ma miarę $4\alpha$.

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Kąty w okręgu” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Kąty w okręgu

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 19, matura maj 2026Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt B leży na krótszym łuku AC. Kąt CDA ma miarę …1 pkt Zadanie 22, matura maj 2026W okrąg O o promieniu 9 3 wpisano trójkąt równoboczny T. Bok trójkąta T ma długość ……… .1 pkt Zadanie 19, matura marzec 2026W każdym trójkącie środek okręgu wpisanego w ten trójkąt leży w punkcie przecięcia się1 pkt Zadanie 20, matura marzec 2026Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt K jest punktem przecięcia cięciwy AC i średni…1 pkt Zadanie 22, matura marzec 2026Sześciokąt foremny wpisano w koło o promieniu 1 (zobacz rysunek). Pole zacieniowanej figury (części koła leżąc…1 pkt Zadanie 19, matura maj 2025Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Miara kąta BCA jest równa 50 (zobacz rysunek). Miara k…1 pkt

← Zadanie 30 Zadanie 32 →

Źródło treści: arkusz CKE s-1405-arkusz.pdf (strona 15), zasady oceniania: s-1405-zasady.pdf.