matmaradar
Egzamin ósmoklasistyMaturaNaukaZadania CKETematyMoje konto
Zaloguj sięZacznij za darmoZacznij

Zadanie 32: matura z matematyki maj 2013, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 4 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Kąty w okręgu

Teoria: Kąty w okręgu

Punkt $S$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym $ABC$. Kąt $ACS$ jest trzy razy większy od kąta $BAS$, a kąt $CBS$ jest dwa razy większy od kąta $BAS$. Oblicz kąty trójkąta $ABC$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 32 z arkusza CKE, maj 2013 (oryginał)Zadanie 32 z arkusza CKE, maj 2013 (oryginał)
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź: $|\angle BAC| = 60^\circ$, $|\angle ABC| = 45^\circ$, $|\angle ACB| = 75^\circ$

Schemat: Kąty w trójkącie równoramiennym z dwóch promieni · pojawił się w 10 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 19, matura maj 2025, zadanie 22, matura maj 2024, zadanie 21, matura maj 2023

Na maturze zdający zdobyli średnio 36% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 55%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie
  1. 1.
    Trójkąt jest ostrokątny, więc $S$ leży w jego wnętrzu. Oznaczmy $|\angle BAS| = \alpha$, wtedy $|\angle CBS| = 2\alpha$ i $|\angle ACS| = 3\alpha$.
  2. 2.
    $|SA| = |SB| = |SC|$ (promienie), więc trójkąty $ABS$, $BCS$, $CAS$ są równoramienne i mają równe kąty przy podstawach: $|\angle ABS| = \alpha$, $|\angle BCS| = 2\alpha$, $|\angle CAS| = 3\alpha$.
  3. 3.
    Kąty trójkąta $ABC$ są sumami: $|\angle BAC| = \alpha + 3\alpha = 4\alpha$, $|\angle ABC| = \alpha + 2\alpha = 3\alpha$, $|\angle ACB| = 2\alpha + 3\alpha = 5\alpha$.
  4. 4.
    Suma kątów trójkąta: $4\alpha + 3\alpha + 5\alpha = 180^\circ$, więc $12\alpha = 180^\circ$ i $\alpha = 15^\circ$.
  5. 5.
    $|\angle BAC| = 60^\circ$, $|\angle ABC| = 45^\circ$, $|\angle ACB| = 75^\circ$.
Odpowiedź: $|\angle BAC| = 60^\circ$, $|\angle ABC| = 45^\circ$, $|\angle ACB| = 75^\circ$
Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Kąty w okręgu” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozęLekcja: Kąty w okręgu

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 19, matura maj 2026Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt B leży na krótszym łuku AC. Kąt CDA ma miarę …1 pktZadanie 22, matura maj 2026W okrąg O o promieniu 9 3 wpisano trójkąt równoboczny T. Bok trójkąta T ma długość ……… .1 pktZadanie 19, matura marzec 2026W każdym trójkącie środek okręgu wpisanego w ten trójkąt leży w punkcie przecięcia się1 pktZadanie 20, matura marzec 2026Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt K jest punktem przecięcia cięciwy AC i średni…1 pktZadanie 22, matura marzec 2026Sześciokąt foremny wpisano w koło o promieniu 1 (zobacz rysunek). Pole zacieniowanej figury (części koła leżąc…1 pktZadanie 19, matura maj 2025Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Miara kąta BCA jest równa 50 (zobacz rysunek). Miara k…1 pkt
← Zadanie 31Zadanie 33 →

Źródło treści: arkusz CKE s-1305-arkusz.pdf (strona 16), zasady oceniania: s-1305-zasady.pdf.