Zadanie 31: matura z matematyki maj 2015, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Kąty w okręgu

Dany jest okrąg o środku w punkcie $O$. Prosta $KL$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $L$, a środek $O$ tego okręgu leży na odcinku $KM$, gdzie $M$ jest punktem okręgu (zobacz rysunek). Kąt $LKM$ ma miarę $28^\circ$. Udowodnij, że kąt $KML$ ma miarę $31^\circ$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 31 z arkusza CKE, maj 2015 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Z trójkąta $OLK$: $|\angle KOL| = 62^\circ$, a trójkąt $OML$ jest równoramienny, więc $|\angle KML| = \dfrac{62^\circ}{2} = 31^\circ$.

Schemat: Styczna do okręgu (kąt z promieniem, styczne z jednego punktu) · pojawił się w 5 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 22, matura grudzień 2023, zadanie 24, matura marzec 2022, zadanie 21, matura maj 2023, formuła 2015

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc $|\angle OLK| = 90^\circ$.
2.
Z sumy kątów w trójkącie $OLK$: $|\angle KOL| = 180^\circ - 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$.
3.
Odcinki $OM$ i $OL$ są promieniami, więc trójkąt $OML$ jest równoramienny i $|\angle OML| = |\angle OLM|$.
4.
Kąt $KOL$ jest kątem zewnętrznym trójkąta $OML$ (bo $M$, $O$, $K$ leżą na jednej prostej), więc $|\angle OML| + |\angle OLM| = 62^\circ$, czyli $2|\angle OML| = 62^\circ$.
5.
Zatem $|\angle KML| = |\angle OML| = 31^\circ$, co należało udowodnić.

Odpowiedź: Z trójkąta $OLK$: $|\angle KOL| = 62^\circ$, a trójkąt $OML$ jest równoramienny, więc $|\angle KML| = \dfrac{62^\circ}{2} = 31^\circ$.

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Kąty w okręgu” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Kąty w okręgu

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 19, matura maj 2026Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt B leży na krótszym łuku AC. Kąt CDA ma miarę …1 pkt Zadanie 22, matura maj 2026W okrąg O o promieniu 9 3 wpisano trójkąt równoboczny T. Bok trójkąta T ma długość ……… .1 pkt Zadanie 19, matura marzec 2026W każdym trójkącie środek okręgu wpisanego w ten trójkąt leży w punkcie przecięcia się1 pkt Zadanie 20, matura marzec 2026Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt K jest punktem przecięcia cięciwy AC i średni…1 pkt Zadanie 22, matura marzec 2026Sześciokąt foremny wpisano w koło o promieniu 1 (zobacz rysunek). Pole zacieniowanej figury (części koła leżąc…1 pkt Zadanie 19, matura maj 2025Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Miara kąta BCA jest równa 50 (zobacz rysunek). Miara k…1 pkt

← Zadanie 30 Zadanie 32 →

Źródło treści: arkusz CKE s-1505-arkusz.pdf (strona 17), zasady oceniania: s-1505-zasady.pdf.