Zadanie 32: matura z matematyki maj 2015, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 4 pkt · zadanie otwarte · Stereometria · Przekątne i kąty w bryłach

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $16$. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy $\dfrac{3}{5}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Zadanie 32 z arkusza CKE, maj 2015 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej jest równe $144 + 384\sqrt{2} = 48(3 + 8\sqrt{2})$.

Schemat: Kąt nachylenia przekątnej, krawędzi lub ściany do podstawy · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 25.2, matura maj 2024, zadanie 25, matura maj 2023, zadanie 30.2, matura grudzień 2022

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Niech $a$ będzie krawędzią podstawy (kwadratu), a $\alpha$ kątem nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy. Kąt ten leży w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych: przekątna podstawy $a\sqrt{2}$ i wysokość $16$.
2.
Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos\alpha = \dfrac{3}{5}$, więc $\sin\alpha = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}$ i $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{4}{3}$.
3.
Z trójkąta: $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{16}{a\sqrt{2}} = \dfrac{4}{3}$, więc $a\sqrt{2} = 12$ i $a = 6\sqrt{2}$.
4.
Pole podstawy: $a^2 = 72$; pole jednej ściany bocznej: $a \cdot 16 = 96\sqrt{2}$.
5.
$P_c = 2 \cdot 72 + 4 \cdot 96\sqrt{2} = 144 + 384\sqrt{2}$.
6.
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe $144 + 384\sqrt{2}$.

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej jest równe $144 + 384\sqrt{2} = 48(3 + 8\sqrt{2})$.

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Przekątne i kąty w bryłach” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Przekątne i kąty w bryłach

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 25, matura marzec 2026Dany jest sześcian ABCDEFGH (zobacz rysunek). Pole trójkąta ACH jest równe 4 3. Długość krawędzi tego sześcian…1 pkt Zadanie 31, matura maj 2025Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź BC ma długość 4 oraz suma długości wszystkic…4 pkt Zadanie 30, matura grudzień 2024Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź AE jest 3 razy dłuższa od krawędzi AB, a sum…4 pkt Zadanie 25.1, matura maj 2024Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniast…1 pkt Zadanie 25.2, matura maj 2024Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniast…1 pkt Zadanie 25, matura grudzień 2023Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 5. Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt P (zobacz rysunek). S…1 pkt

← Zadanie 31 Zadanie 33 →

Źródło treści: arkusz CKE s-1505-arkusz.pdf (strona 18), zasady oceniania: s-1505-zasady.pdf.