matmaradar
Egzamin ósmoklasistyMaturaNaukaZadania CKETematyMoje konto
Zaloguj sięZacznij za darmoZacznij

Zadanie 27: matura z matematyki maj 2017, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Wyrażenia algebraiczne · Dowody (podzielność, nierówności)

Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)

Wykaż, że liczba $4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020}$ jest podzielna przez $17$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Zadanie 27 z arkusza CKE, maj 2017 (oryginał)
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź: Liczba jest równa $4^{2017} \cdot 5 \cdot 17$, więc jest podzielna przez $17$.

Schemat: Podzielność konkretnej liczby (suma potęg, różnica kwadratów) · pojawił się w 5 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 5, matura marzec 2026, zadanie 3, matura grudzień 2024, zadanie 27, matura maj 2017, stara formuła

Na maturze zdający zdobyli średnio 36% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 54%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie
  1. 1.
    Wyłączamy przed nawias najmniejszą potęgę: $4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2017}\left(1 + 4 + 4^2 + 4^3\right)$.
  2. 2.
    Obliczamy wartość nawiasu: $1 + 4 + 16 + 64 = 85$.
  3. 3.
    Rozkładamy: $85 = 5 \cdot 17$, więc liczba jest równa $4^{2017} \cdot 5 \cdot 17$.
  4. 4.
    Jeden z czynników to $17$, więc dana liczba jest podzielna przez $17$.
Odpowiedź: Liczba jest równa $4^{2017} \cdot 5 \cdot 17$, więc jest podzielna przez $17$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 27
Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozęLekcja: Dowody (podzielność, nierówności)

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 7, matura maj 2026Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n2 + 21n jest podzielna przez 14.2 pktZadanie 21, matura maj 2026Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a oraz |LM| = b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N (zobac…2 pktZadanie 5, matura marzec 2026Wykaż, że liczba 25014 - 24994 jest podzielna przez 10\,000.2 pktZadanie 21, matura marzec 2026Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 2 |CD|. Przekątna AC tego trapezu je…3 pktZadanie 5, matura maj 2025Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n2 + 2n + 7 jest podzielna przez 4.2 pktZadanie 3, matura grudzień 2024Wykaż, że liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.2 pkt
← Zadanie 26Zadanie 28 →

Źródło treści: arkusz CKE f15-1705-arkusz.pdf (strona 17), zasady oceniania: f15-1705-zasady.pdf.