Zadanie 25: matura z matematyki wrzesień 2022
Poziom podstawowy · arkusz diagnostyczny · 3 pkt · zadanie otwarte · Trygonometria · Objętości i pola brył
Zapisz obliczenia.
Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość $10\sqrt{3}$, a każda jego krawędź boczna ma długość $15$. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź: Wysokość ostrosłupa jest równa $5\sqrt{5}$.
Schemat: Ostrosłup prawidłowy: wysokość, objętość, pole (kąt nachylenia) · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 27, matura maj 2026, zadanie 26, matura marzec 2026, zadanie 24, matura grudzień 2024
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $a = 10\sqrt{3}$. Wszystkie krawędzie boczne są równe, więc spodek wysokości jest środkiem okręgu opisanego na podstawie.
- 2.Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym: $R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} = \dfrac{10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = 10$.
- 3.Wysokość $H$, promień $R$ i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny, w którym krawędź boczna jest przeciwprostokątną: $H^2 + R^2 = 15^2$.
- 4.$H^2 = 225 - 100 = 125$, więc $H = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.
- 5.$H = 5\sqrt{5}$.
Odpowiedź: Wysokość ostrosłupa jest równa $5\sqrt{5}$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
W aplikacji każde zadanie z tematu „Objętości i pola brył” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Zadanie 27, matura maj 2026Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość 8 3. Krawędź boczna tego os…2 pktZadanie 28, matura maj 2026Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca…1 pktZadanie 26, matura marzec 2026Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 12. Ściana boczna tego ostros…2 pktZadanie 25, matura maj 2025Tworząca stożka ma długość 8. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 120 .3 pktZadanie 26, matura maj 2025Objętość sześcianu jest równa 729. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa1 pktZadanie 24, matura grudzień 2024Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4. Ściana boczna tego ostrosłupa j…1 pkt
Źródło treści: arkusz CKE 2209-arkusz.pdf (strona 26), zasady oceniania: 2209-zasady.pdf.