Zadanie 28: matura z matematyki maj 2019, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Wyrażenia algebraiczne · Dowody (podzielność, nierówności)

Wykaż.

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $3a^2 - 2ab + 3b^2 \ge 0$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a - b)^2 + 2a^2 + 2b^2$, suma liczb nieujemnych, więc jest nieujemna.

Schemat: Dowód nierówności algebraicznej (sprowadzenie do kwadratu) · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 32, matura maj 2023, formuła 2015, zadanie 31, matura maj 2022, formuła 2015, zadanie 30, matura maj 2021, formuła 2015

Na maturze zdający zdobyli średnio 20% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 58%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Rozbijamy $3a^2 = a^2 + 2a^2$ i $3b^2 = b^2 + 2b^2$: $3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + 2a^2 + 2b^2$.
2.
Ze wzoru skróconego mnożenia $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$, więc lewa strona to $(a - b)^2 + 2a^2 + 2b^2$.
3.
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny: $(a - b)^2 \ge 0$, $2a^2 \ge 0$, $2b^2 \ge 0$, więc ich suma też jest nieujemna.
4.
Zatem $3a^2 - 2ab + 3b^2 \ge 0$ dla dowolnych $a, b$, co kończy dowód.

Odpowiedź: $3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a - b)^2 + 2a^2 + 2b^2$, suma liczb nieujemnych, więc jest nieujemna.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Źródło treści: arkusz CKE f15-1905-arkusz.pdf (strona 16), zasady oceniania: f15-1905-zasady.pdf.