Zadanie 29: matura z matematyki maj 2019, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Trójkąty i wielokąty foremne

Wykaż.

Dany jest okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $r$. Na przedłużeniu cięciwy $AB$ poza punkt $B$ odłożono odcinek $BC$ równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty $C$ i $S$ poprowadzono prostą. Prosta $CS$ przecina dany okrąg w punktach $D$ i $E$ (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta $ACS$ jest równa $\alpha$, to miara kąta $ASD$ jest równa $3\alpha$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 29 z arkusza CKE, maj 2019 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Schemat: Dowód geometryczny w trójkącie · pojawił się w 7 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 31, matura marzec 2021, formuła 2015, zadanie 29, matura czerwiec 2020, formuła 2015, zadanie 29, matura czerwiec 2020, stara formuła

Na maturze zdający zdobyli średnio 19% punktów za to zadanie (bardzo trudne). Średni wynik całego arkusza: 58%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Trójkąt $SBC$ jest równoramienny, bo $|SB| = r = |BC|$, więc $|\angle BSC| = |\angle BCS| = \alpha$.
2.
Kąt $SBA$ jest kątem zewnętrznym trójkąta $SBC$ przy wierzchołku $B$, więc $|\angle SBA| = \alpha + \alpha = 2\alpha$.
3.
Trójkąt $ASB$ jest równoramienny ($|SA| = |SB| = r$), więc $|\angle SAB| = |\angle SBA| = 2\alpha$.
4.
Kąt $ASD$ jest kątem zewnętrznym trójkąta $ASC$ przy wierzchołku $S$ (punkty $D$, $S$, $C$ leżą na jednej prostej), więc jest równy sumie kątów $SAC$ i $SCA$: $2\alpha + \alpha$.
5.
$|\angle ASD| = 3\alpha$, co kończy dowód.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 29

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Trójkąty i wielokąty foremne” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Trójkąty i wielokąty foremne

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 20, matura maj 2026Na płaszczyźnie dane są cztery proste: k, l, m oraz n. Proste k oraz l są równoległe. Prosta m przecina proste…1 pkt Zadanie 24.2, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (0, -3), B = (2, 1) oraz C = (0, 2) są wierzchołkami …1 pkt Zadanie 33.2, matura maj 2026W chwili t = 0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajdu…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2025W trójkącie równoramiennym ABC dane są: |AC| = |BC| = 4 i |AB| = 3. Na boku BC, między punktami B i C, wybrano…1 pkt Zadanie 19, matura grudzień 2024W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 7,5. Krótsza przekątna AC ma długość równą 6 i dzi…4 pkt Zadanie 20, matura maj 2024Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a, |LM| = b oraz a b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N t…1 pkt

← Zadanie 28 Zadanie 30 →

Źródło treści: arkusz CKE f15-1905-arkusz.pdf (strona 17), zasady oceniania: f15-1905-zasady.pdf.