Zadanie 31: matura z matematyki marzec 2021, formuła 2015

Poziom podstawowy · matura próbna · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Trójkąty i wielokąty foremne

Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości $a$ i $b$. Punkt $O$ leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta i jest środkiem okręgu stycznego do przyprostokątnych tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że promień $r$ tego okręgu jest równy $\dfrac{ab}{a+b}$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 31 z arkusza CKE, marzec 2021 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Z sumy pól: $\dfrac{1}{2}ab = \dfrac{1}{2}ar + \dfrac{1}{2}br$, więc $r = \dfrac{ab}{a+b}$.

Schemat: Dowód geometryczny w trójkącie · pojawił się w 7 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 29, matura czerwiec 2020, formuła 2015, zadanie 29, matura czerwiec 2020, stara formuła, zadanie 29, matura marzec 2020, formuła 2015

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Łączymy punkt $O$ z wierzchołkiem kąta prostego. Dzieli on trójkąt na dwa trójkąty: jeden o podstawie $a$, drugi o podstawie $b$.
2.
Promienie poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do przyprostokątnych, więc wysokość każdego z tych trójkątów (opuszczona z $O$) jest równa $r$.
3.
Pole całego trójkąta jest sumą pól obu części: $\dfrac{1}{2}ab = \dfrac{1}{2}a \cdot r + \dfrac{1}{2}b \cdot r$.
4.
Mnożymy przez $2$: $ab = r(a + b)$, więc $r = \dfrac{ab}{a + b}$. To należało wykazać.

Odpowiedź: Z sumy pól: $\dfrac{1}{2}ab = \dfrac{1}{2}ar + \dfrac{1}{2}br$, więc $r = \dfrac{ab}{a+b}$.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 31

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Trójkąty i wielokąty foremne” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Trójkąty i wielokąty foremne

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 20, matura maj 2026Na płaszczyźnie dane są cztery proste: k, l, m oraz n. Proste k oraz l są równoległe. Prosta m przecina proste…1 pkt Zadanie 24.2, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (0, -3), B = (2, 1) oraz C = (0, 2) są wierzchołkami …1 pkt Zadanie 33.2, matura maj 2026W chwili t = 0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajdu…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2025W trójkącie równoramiennym ABC dane są: |AC| = |BC| = 4 i |AB| = 3. Na boku BC, między punktami B i C, wybrano…1 pkt Zadanie 19, matura grudzień 2024W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 7,5. Krótsza przekątna AC ma długość równą 6 i dzi…4 pkt Zadanie 20, matura maj 2024Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a, |LM| = b oraz a b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N t…1 pkt

← Zadanie 30 Zadanie 32 →

Źródło treści: arkusz CKE f15-2103-arkusz.pdf (strona 16), zasady oceniania: f15-2103-zasady.pdf.