Zadanie 29: matura z matematyki czerwiec 2020, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Trójkąty i wielokąty foremne

Trójkąt $ABC$ jest równoboczny. Punkt $E$ leży na wysokości $CD$ tego trójkąta oraz $|CE| = \dfrac{3}{4}|CD|$. Punkt $F$ leży na boku $BC$ i odcinek $EF$ jest prostopadły do $BC$ (zobacz rysunek). Wykaż, że $|CF| = \dfrac{9}{16}|CB|$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 29 z arkusza CKE, czerwiec 2020 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Z podobieństwa trójkątów $CFE$ i $CDB$: $\dfrac{|CF|}{|CE|} = \dfrac{|CD|}{|CB|}$, skąd $|CF| = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{4}|CB| = \dfrac{9}{16}|CB|$.

Schemat: Dowód geometryczny w trójkącie · pojawił się w 7 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 31, matura marzec 2021, formuła 2015, zadanie 29, matura czerwiec 2020, formuła 2015, zadanie 29, matura marzec 2020, formuła 2015

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Oznaczmy długość boku trójkąta przez $a$. Wysokość trójkąta równobocznego ma długość $|CD| = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, więc $|CE| = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3a\sqrt{3}}{8}$.
2.
Wysokość $CD$ dzieli kąt $ACB$ na połowy, więc $|\angle ECF| = 30^\circ$.
3.
Trójkąt $CFE$ jest prostokątny (kąt prosty przy $F$), więc $|CF| = |CE| \cdot \cos 30^\circ$.
4.
Obliczamy: $|CF| = \dfrac{3a\sqrt{3}}{8} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{9a}{16}$.
5.
Ponieważ $|CB| = a$, otrzymujemy $|CF| = \dfrac{9}{16}|CB|$, co należało wykazać.

Odpowiedź: Z podobieństwa trójkątów $CFE$ i $CDB$: $\dfrac{|CF|}{|CE|} = \dfrac{|CD|}{|CB|}$, skąd $|CF| = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{4}|CB| = \dfrac{9}{16}|CB|$.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 29

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Trójkąty i wielokąty foremne” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Trójkąty i wielokąty foremne

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 20, matura maj 2026Na płaszczyźnie dane są cztery proste: k, l, m oraz n. Proste k oraz l są równoległe. Prosta m przecina proste…1 pkt Zadanie 24.2, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (0, -3), B = (2, 1) oraz C = (0, 2) są wierzchołkami …1 pkt Zadanie 33.2, matura maj 2026W chwili t = 0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajdu…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2025W trójkącie równoramiennym ABC dane są: |AC| = |BC| = 4 i |AB| = 3. Na boku BC, między punktami B i C, wybrano…1 pkt Zadanie 19, matura grudzień 2024W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 7,5. Krótsza przekątna AC ma długość równą 6 i dzi…4 pkt Zadanie 20, matura maj 2024Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a, |LM| = b oraz a b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N t…1 pkt

← Zadanie 28 Zadanie 30 →

Źródło treści: arkusz CKE s-2005-arkusz.pdf (strona 17), zasady oceniania: s-2005-zasady.pdf.