Zadanie 29: matura z matematyki marzec 2020, formuła 2015

Poziom podstawowy · matura próbna · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Trójkąty i wielokąty foremne

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\angle ACB| = 90^\circ$ i $|\angle ABC| = 60^\circ$. Niech $D$ oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka $C$ kąta prostego i przeciwprostokątnej $AB$ tego trójkąta. Wykaż, że $|AD| : |DB| = 3 : 1$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Zadanie 29 z arkusza CKE, marzec 2020 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Dla $|BC| = a$: $|AB| = 2a$, $|DB| = \dfrac{a}{2}$, więc $|AD| = \dfrac{3a}{2}$ i $|AD| : |DB| = 3 : 1$.

Schemat: Dowód geometryczny w trójkącie · pojawił się w 7 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 31, matura marzec 2021, formuła 2015, zadanie 29, matura czerwiec 2020, formuła 2015, zadanie 29, matura czerwiec 2020, stara formuła

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Oznaczmy $|BC| = a$. Kąt $BAC$ ma miarę $180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
2.
W trójkącie $ABC$: $\sin 30^\circ = \dfrac{|BC|}{|AB|}$, więc $|AB| = \dfrac{a}{\frac{1}{2}} = 2a$.
3.
Trójkąt $CDB$ jest prostokątny (kąt prosty przy $D$) i ma kąt $60^\circ$ przy $B$, więc $|DB| = |BC| \cos 60^\circ = \dfrac{a}{2}$.
4.
Stąd $|AD| = |AB| - |DB| = 2a - \dfrac{a}{2} = \dfrac{3a}{2}$.
5.
Zatem $|AD| : |DB| = \dfrac{3a}{2} : \dfrac{a}{2} = 3 : 1$, co należało wykazać.

Odpowiedź: Dla $|BC| = a$: $|AB| = 2a$, $|DB| = \dfrac{a}{2}$, więc $|AD| = \dfrac{3a}{2}$ i $|AD| : |DB| = 3 : 1$.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 29

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Trójkąty i wielokąty foremne” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Trójkąty i wielokąty foremne

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 20, matura maj 2026Na płaszczyźnie dane są cztery proste: k, l, m oraz n. Proste k oraz l są równoległe. Prosta m przecina proste…1 pkt Zadanie 24.2, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (0, -3), B = (2, 1) oraz C = (0, 2) są wierzchołkami …1 pkt Zadanie 33.2, matura maj 2026W chwili t = 0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajdu…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2025W trójkącie równoramiennym ABC dane są: |AC| = |BC| = 4 i |AB| = 3. Na boku BC, między punktami B i C, wybrano…1 pkt Zadanie 19, matura grudzień 2024W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 7,5. Krótsza przekątna AC ma długość równą 6 i dzi…4 pkt Zadanie 20, matura maj 2024Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a, |LM| = b oraz a b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N t…1 pkt

← Zadanie 28 Zadanie 30 →

Źródło treści: arkusz CKE f15-2003-arkusz.pdf (strona 17), zasady oceniania: f15-2003-zasady.pdf.