Zadanie 28: matura z matematyki marzec 2020, formuła 2015

Poziom podstawowy · matura próbna · 2 pkt · zadanie otwarte · Wyrażenia algebraiczne · Dowody (podzielność, nierówności)

Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $4x + \dfrac{1}{x} \ge 4$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Po pomnożeniu przez $x > 0$ nierówność przyjmuje postać $(2x - 1)^2 \ge 0$, która jest zawsze prawdziwa.

Schemat: Dowód nierówności algebraicznej (sprowadzenie do kwadratu) · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 32, matura maj 2023, formuła 2015, zadanie 31, matura maj 2022, formuła 2015, zadanie 30, matura maj 2021, formuła 2015

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Liczba $x$ jest dodatnia, więc mnożąc obie strony przez $x$, nie zmieniamy znaku nierówności: $4x^2 + 1 \ge 4x$.
2.
Przenosimy wszystko na lewą stronę: $4x^2 - 4x + 1 \ge 0$.
3.
Lewa strona to kwadrat różnicy: $4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2$.
4.
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc $(2x - 1)^2 \ge 0$ dla każdego $x$.
5.
Nierówność $(2x - 1)^2 \ge 0$ jest równoważna wyjściowej (dla $x > 0$). Zatem $4x + \dfrac{1}{x} \ge 4$, co należało wykazać.

Odpowiedź: Po pomnożeniu przez $x > 0$ nierówność przyjmuje postać $(2x - 1)^2 \ge 0$, która jest zawsze prawdziwa.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Źródło treści: arkusz CKE f15-2003-arkusz.pdf (strona 16), zasady oceniania: f15-2003-zasady.pdf.